Wie entsteht die Allgemeine Relativitätstheorie aus der Brans-Dicke-Schwerkraft mit einem unendlichen Omega-Parameter?

Question

Wie entsteht die Allgemeine Relativitätstheorie aus der Brans-Dicke-Schwerkraft mit einem unendlichen Omega-Parameter?

Belize

Die Aktion für die Brans-Dicke-Jordan-Schwerkrafttheorie ist

S = \int D^{4} X \sqrt{- G} (\frac{ϕ R - ω \frac{\partial_{A} ϕ \partial^{A} ϕ}{ϕ}}{16 π} + L_{M}) .

$\\S =\int d^4x\sqrt{-g} \; \left(\frac{\phi R - \omega\frac{\partial_a\phi\partial^a\phi}{\phi}}{16\pi} + \mathcal{L}_\mathrm{M}\right).$

Die entsprechenden Bewegungsgleichungen sind

◻ ϕ = \frac{8 π}{3 + 2 ω} T G_{A B} = \frac{8 π}{ϕ} T_{A B} + \frac{ω}{ϕ^{2}} (\partial_{A} ϕ \partial_{B} ϕ - \frac{1}{2} G_{A B} \partial_{C} ϕ \partial^{C} ϕ) + \frac{1}{ϕ} (\nabla_{A} \nabla_{B} ϕ - G_{A B} ◻ ϕ)

$\Box\phi = \frac{8\pi}{3+2\omega}T\\ G_{ab} = \frac{8\pi}{\phi}T_{ab}+\frac{\omega}{\phi^2} (\partial_a\phi\partial_b\phi-\frac{1}{2}g_{ab}\partial_c\phi\partial^c\phi) +\frac{1}{\phi}(\nabla_a\nabla_b\phi-g_{ab}\Box\phi)$

Wo $\\G_{ab}$ ist der Standard-Einstein-Tensor und $\mathcal{L}_\mathrm{M}$ ist die Lagrange-Dichte der Materie. Es sollte offensichtlich sein, dass sich dies auf die allgemeine Relativitätstheorie in der Grenze von unendlich groß reduziert $\omega$ . Wie so? Sie können davon ausgehen, dass die Spur $\\T$ des Spannungsenergietensors $\\T_{ab}$ ist nicht null.

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Wie entsteht die Allgemeine Relativitätstheorie aus der Brans-Dicke-Schwerkraft mit einem unendlichen Omega-Parameter?

Ron Maimon · Answer 1

Es ist offensichtlich, weil die skalaren kinetischen Terme für jeden Wert der Ableitung eine unendliche Wirkung erlangen, wodurch die Ableitung gezwungen wird, Null und der Skalar konstant zu sein. Dies ist nur eine allgemeine einschränkende Eigenschaft eines Skalarfeldes.

Wenn Sie die Aktion in Betracht ziehen

\int A | \nabla ϕ |^{2} + J (X) ϕ (X) D^{3} X

$\int A |\nabla\phi|^2 + J(x)\phi(x)d^3x$

Wo J eine (klassische) Quelle ist, erfolgt die Antwort an die Quelle durch den Propagator:

\frac{J (k) J (k^{'})}{A k^{2}}

${J(k)J(k')\over A k^2}$

Sie können entweder die Konstante A in das Feld aufnehmen, wodurch die Kopplung zur Quelle verschwindet $A\rightarrow \infty$ , oder halte die Kopplung konstant, in welchem Fall die Feldantwort verschwindet, was sich in dem verschwindenden Propagator widerspiegelt.

Das Endergebnis ist, dass ein großes A das Feld konstant hält, das Feld nicht auf Quellen reagiert und Sie feststellen, dass die Brans-Dicke-Theorie eine Konstante hat $\phi$ , in der die Wirkung und die Bewegungsgleichungen die gleichen wie GR werden.

Sie könnten besorgt sein über die $\phi$ im Nenner, aber das liegt ganz an den unglücklichen Konventionen, die Brans und Dicke gewählt haben. $\phi$ sollte als kleine Schwankungen um einen konstanten Wert betrachtet werden. Am besten anrufen $\phi$ anhand des Namens $e^{\phi}$ , so dass die Singularität im Nullfeld weggedrückt wird $-\infty$ . Dies ist die Dilatonenkonvention in der Stringtheorie.

Ok, Ron, der Trick besteht also darin, das Große zu erkennen $\omega$ fährt nur $\phi$ auf einen konstanten Wert, nicht auf Null. [Nur das Stück $\phi$ bezogen von $\\T$ geht auf Null.] Und weil die allgemeine Lösung zu $\Box\phi=0$ ist eine Welle mit einem Nullwellenvektor $\\k_a$ , indem man dies in die Lagrange-Ursachen einfügt $\partial_a\phi\partial^a\phi$ damit multipliziert werden $\\k_ak^a$ = 0, wodurch dieser Term genauso Null wird wie bei der Konstante $\phi$ . Ist das ungefähr richtig?
Das einzige Problem, das ich sehe, ist, dass Sie immer noch nicht konstante Lösungen haben würden $\Box\phi = 0$ im $\phi R$ Begriff. Wie argumentieren Sie, dass diese Lösungen ignoriert werden sollten? Derselbe Grund, warum wir Gravitationswellen bei der Berechnung der Metrik um einen Stern ignorieren?
@Belizean: Diese Lösungen sind Wanderwellen und können nicht bei unendlichem Omega bezogen werden - nichts würde sie aussenden. Wenn Sie sie von Hand einlegen, wirken sie immer noch.
Das klingt plausible. Die Lösungen zu $\Box\phi = 0$ sind mathematisch erlaubt, werden aber physikalisch ignoriert, weil nichts sie verursachen würde.

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Belize

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