Warum gibt es für das Gravitationsfeld keinen physikalischen Energie-Impuls-Tensor?

Der Energie-Impuls-Tensor ist lokal definiert und ein Tensor . Im Elektromagnetismus oder in der Newtonschen Gravitation bilden wir eine lokale Energiedichte im Wesentlichen durch Quadrieren des Feldes.

Das Problem bei der Anwendung auf GR ist das Gravitationsfeld$\mathbf{g}$ist lokal in einem inertialen (dh frei fallenden) Referenzrahmen null, also wird jede Energiedichte, die wir durch Quadrieren bilden, etwas sein, das an jedem gegebenen Punkt zu null gemacht werden kann, einfach durch eine Auswahl von Koordinaten. Aber ein Tensor, der für eine Auswahl von Koordinaten Null ist, ist für jede Auswahl von Koordinaten Null, also funktioniert die ganze Idee nicht für GR.

Die andere Art, die Sie versuchen könnten, wäre, Ableitungen des Felds zu nehmen und sie als Zutaten in einem solchen lokal definierten Tensor zu verwenden. Dies hilft jedoch nicht. Es gibt eine Diskussion darüber in Wald, Abschnitt 11.2. Das grundlegende Problem besteht darin, dass, wenn das Ergebnis ein Tensor sein soll, die Ableitungen kovariante Ableitungen sein müssen, die mit einem Tensor arbeiten. Aber der einzige Tensor, den wir zur Verfügung haben, ist die Metrik, und das definierende Merkmal der kovarianten Ableitung ist, dass sie Null ergibt, wenn Sie die Metrik differenzieren. (Es gibt jedoch eine Lücke in Walds Argument, die mich stört. Bei der Bildung einer Tensorgröße durch Differentiation ist es ausreichend, aber nicht notwendig, dass die Ableitung eine kovariante Ableitung ist. Wenn wir einen Krümmungstensor aus der Metrik bilden,

Nichts davon verhindert die Definition von nichtlokalen Maßen der Energie, die von Gravitationsfeldern in einer bestimmten Region getragen wird. Deshalb können wir zum Beispiel von der Energie sprechen, die von einer Gravitationswelle getragen wird, aber wir müssen von einer Region sprechen, die im Vergleich zu einer Wellenlänge groß ist. Das erlaubt uns jedoch nicht, etwas zu definieren, das in die Einstein-Feldgleichungen einfließen kann, die lokal sind, weil sie eine Differentialgleichung sind.

Der kanonische Energie-Impuls-Tensor ist aufgrund der Einstein-Gleichung genau null. Dasselbe gilt für jede Diffeomorphismus-Invariantentheorie.

Mit „es existiert nicht“ meint man nur, dass es keine nützlichen Informationen enthält.

Es ist wahr, dass es keinen Energie-Impuls-Tensor für das Gravitationsfeld gibt, aber es ist leicht zu verstehen, warum nicht, und dann eine vollkommen korrekte Formulierung für die Erhaltung von Energie und Impulsen des Gravitationsfelds abzuleiten.

Die Invarianzgruppe der speziellen Relativitätstheorie ist die Poincare-Gruppe. Energie und Impuls verbinden sich in der speziellen Relativitätstheorie zu einem 4er-Vektor, der zu einer Darstellung der Poincare-Gruppe gehört. Der Strom dieses Vierervektors ist der Energie-Impuls-Spannungstensor, dessen Divergenz Null ist.

Beim Übergang von der speziellen zur allgemeinen Relativitätstheorie wird oft angenommen, dass jede Tensorgröße durch eine ähnliche ersetzt werden kann, wobei gewöhnliche Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzt werden. Dies ist nicht immer der Fall. In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Symmetrie die Diffeomorphismusgruppe, nicht die Poincare-Gruppe oder die Lorentz-Gruppe. 4-Vektoren in GR existieren nur lokal, aber Energie und Impuls sind keine lokalen Größen, sodass sie keinen 4-Vektor bilden können. Stattdessen sollten sie ein Objekt aus einer Repräsentation der Diffeomorphismus-Gruppe bilden.

Wenn Ihre Raumzeit topologisch äquivalent (diffeomorph) ist$R^4$Dann können Sie ein beliebiges globales System mit 4 Koordinaten auswählen und diese Koordinaten mithilfe von Poincare-Transformationen transformieren. Dies sind Diffeomorphismen, dh Sie können die Poincare-Gruppe in die Diffeomorphismus-Gruppe einbetten, indem Sie solche Koordinaten auswählen. Aus diesem Grund ist es möglich, einen Energie-Impuls-Pseudo-Tensor für das Gravitationsfeld abzuleiten. Es ist koordinatenabhängig und kein Tensor, aber es funktioniert.

Es gibt einen konzeptionell besseren Ansatz, der kovariant ist und für jede Topologie funktioniert. Dies wird abgeleitet, indem Noethers erster Satz direkt auf die Einstein-Hilbert-Aktion angewendet wird, wobei die Symmetriegeneratoren der Diffeomorphismusgruppe verwendet werden, bei denen es sich um kontravariante Vektorfelder handelt$k^\mu$. Das Ergebnis ist ein Strom mit linearer Abhängigkeit vom Feld$k^\mu$was sich unter Verwendung der Feldgleichungen zum Komar-Superpotential vereinfacht

$J^{\mu} = (k^{\mu;\nu} - k^{\nu;\mu})_{;\nu}$

Mit dieser Formulierung gehören Energie und Impuls zum Dual der adjungierten Darstellung der Diffeomorphismusgruppe.

Bearbeiten: Ich werde einen weiteren wichtigen Punkt hinzufügen, der oft missverstanden wird.

Der Materie- und Strahlungsteil des Energie-Impuls-Spannungstensors kann unter Verwendung der in der Frage angegebenen Formel abgeleitet werden, die auf den Materie+Strahlungs-Teil der Lagrange-Funktion angewendet wird

$T_{MR}^{\mu\nu} = -2 \frac{\delta L_{MR}}{\delta g_{\mu\nu}}$

Wenn Sie diesen Ausdruck auf die vollständige Aktion anwenden, wie in der Referenz vorgeschlagen, ergibt dies die Gravitationsbewegungsgleichungen, die dynamisch Null sind. Es ist wichtig zu verstehen, dass dies nicht der Weg ist, um den Noether-Strom abzuleiten, der durch diesen Ausdruck korrekt angegeben wird (siehe Wikipedia für Details ) .

$T_\mu{}^\nu = \left( \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol\phi_{,\nu}} \right) \cdot \boldsymbol\phi_{,\mu} - L\,\delta_\mu^\nu$

Einige Leute verwechseln diese beiden Dinge und denken, dass sie die gleiche Antwort für die volle Lagrange-Funktion geben, sodass der Noether-Strom unter den Feldgleichungen Null sein muss. Dies ist sicherlich nicht der Fall. Wenn der Noether-Strom korrekt abgeleitet wird, ergibt er das Komar-Superpotential unter Verwendung der Feldgleichungen und dieses ist nicht Null . Wenn Sie einen koordinatenabhängigen Ansatz wählen, können Sie alternativ den Satz von Noether verwenden, um Pseudotensorausdrücke zu erhalten, die wiederum ungleich Null sind.

Wie wäre es damit:

Die mathematischen Ausdrücke für Impuls und (kinetische) Energie sind in der Regel linear und quadratisch in den ersten Ableitungen der dynamischen Variablen. Beispielsweise ist für ein klassisches Teilchen die dynamische Variable nur die Trajektorienvariable${\bf{x}}(t)$, während der Schwung ist$m{\bf{\dot{x}}}$, und die kinetische Energie ist$\frac{1}{2}m{\bf{\dot{x}}}$$^{2}$. Aber in der Allgemeinen Relativitätstheorie die erste kovariante Ableitung der Gravitationsfeldvariablen, also der Raum-Zeit-Metrik$g_{\mu\nu}(x)$, verschwindet:$\nabla_{\lambda}{g}_{\mu\nu}(x)=0$. Dementsprechend verschwinden Energie und Impuls des Gravitationsfeldes selbst. In speziellen relativistischen Gravitationstheorien hingegen verschwindet die erste Ableitung der Gravitationsfeldvariablen nicht und (also) auch der Energie-Impuls des Feldes nicht. Dies deutet darauf hin, dass der Mangel an Energie-Impuls des Gravitationsfeldes in der Allgemeinen Relativitätstheorie darauf zurückzuführen ist, dass Erhaltungsgrößen wie Energie und Impuls nur in Bezug auf Raum und Zeit wirklich definierbar sind, während das Feld in diesem Fall mit der Geometrie der Raumzeit identisch ist. Die folgende Tatsache stört mich jedoch: Die beobachtete Änderung der Umlaufzeit von Doppelpulsaren ist, wie uns gesagt wird, darauf zurückzuführen, dass ihre Umlaufenergie in Form von Gravitationswellen abgeführt wird. Aber ich sehe nicht, wie das sein kann, wenn das Gravitationsfeld keinen Energie-Impuls hat.

Der Hilbert-Tensor$T_{EH}^{\mu\nu}$repräsentiert das Spannungs-Energie-Impuls von Materie plus Nicht-Gravitationsfelder. Es ist eine vollkommen physikalische Größe .

Lassen Sie mich die kosmologische Konstante der Einfachheit halber als Null annehmen (sie kann auch in den Spannungs-Energie-Impuls-Tensor aufgenommen werden). Wenn Sie die Hilbert-Einstein-Gleichungen umschreiben als

wo der Superindex$(1)$stellen die linearisierten Terme in einer Reihenentwicklung über flachem Hintergrund mit Metrik dar$\eta_{\mu\nu}$, sehen die Gleichungen formal wie die Gleichungen für ein nichtlineares Spin-2-Feld aus, wobei$t_{G}^{\mu\nu}$ würde den Energie-Impuls-Tensor für das eigene Gravitationsfeld darstellen. Das Problem ist, dass das Zeichen von$t_{G}^{\mu\nu}$ist falsch und tatsächlich ist es nicht einmal ein Tensor. Dieses Problem ist spezifisch für die Allgemeine Relativitätstheorie.

Der Energie-Impuls-Tensor für das Gravitationsfeld existiert in der Feldtheorie der Gravitation (FTG). Dies ist ein echter Tensor und positiv definit. Aus der Perspektive der modernen Feldtheorie der Gravitation ist es leicht zu verstehen, warum der allgemeinen Relativitätstheorie ein Energie-Impuls-Tensor für das Gravitationsfeld fehlt. Bei der Ableitung der Allgemeinen Relativitätstheorie aus FTG muss der feldtheoretische Energie-Impuls-Tensor für das Gravitationsfeld vernachlässigt werden$T_{grav}^{\mu\nu}$, wie in meiner eigenen Arbeit [1] gezeigt . Folglich findet man diesen Tensor in der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht!

[1] Allgemeine Relativitätstheorie als geometrische Annäherung an eine Feldtheorie der Gravitation

Die einfache Antwort ist, dass es im „Gravitationsfeld“ keine Energie gibt, weil das „Feld“ in GTR auf die Metrik des Raums reduziert wurde. Da es in der Metrik des Raums keine Energie gibt,$G_{μν}$ist nur auf einer Seite der Gleichung (dh der geometrischen Seite). Wenn die Metrik Energie enthielt, dann$G_{μν}$müsste auf beiden Seiten der Gleichung stehen,$G_{μν} = T_{μν}(G_{μν})$, das$G_{μν}$in den Energie-Impuls-Tensor aufgenommen$T_{μν}$und die gesamte Gleichung würde kreisförmig werden. Die Energie der Metrik würde eine andere Metrik erzeugen und die Energie der anderen Metrik würde dem Energie-Impuls-Tensor ad infinitum hinzugefügt werden. Wenn dies der Fall wäre, würde es andere Ergebnisse vorhersagen als die nicht kreisförmige (korrekte) Version. Tatsächlich beweist der Erfolg der korrekten Version der Gleichung, dass Energie nicht in der Metrik enthalten sein kann.

In der Newtonschen Theorie ist die Gravitationsenergie immer negativ, so dass es tatsächlich möglich ist, dass der lokale Gesamtenergie-Impulstensor an jedem Punkt in der Raumzeit Null sein kann. Somit zeigt Einsteins Gleichung mit allem, was auf einer Seite geschrieben ist, lediglich, dass der Gravitationsanteil dieses Gesamtenergie-Impuls-Tensors die Raumzeit krümmt.