Ricci-Tensor als relativistischer Hamiltonoperator

Ich bin ein bisschen enttäuscht vom Aktionsintegral in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Das Wirkungsintegral ist:

(1) ∫ R D 4 X = ∫ R ich J G ich J D 4 X
Wo

(2) R ich J = ∂ Γ ich J l ∂ X l − ∂ Γ l ich l ∂ X J + Γ ich J l Γ l M M − Γ ich M l Γ l J M
Ist der Ricci-Tensor. Der Ricci-Tensor ist in der Allgemeinen Relativitätstheorie mit Hamiltonian und Quantität verbunden
(3) R = R ich J G ich J
ist die skalare Krümmung, die eine unveränderliche Größe ist, und auch die Gesamtenergie des Systems. Ich kann nicht verstehen, wie ich in der Ricci-Tensor-Hamilton-Funktion sehen kann.

In jedem Buch der Allgemeinen Relativitätstheorie fand ich so etwas:

Wirkprinzip...

Machen wir eine Aktion:

∫ − G R D 4 X = ∫ − G R ich k G ich J D 4 X
Wobei R die skalare Krümmung ist ... aaaand, wenn wir Variationsgymnastik machen wie:
δ − G = − 1 2 − G G ich k δ G ich k
δ R = R ich k δ G ich k
und warten, wenn sich der Rauch verzieht, kommen wir hoffentlich an, um die Einstein-Feldgleichungen zu vakuumieren:
R ich k − 1 2 R G ich k = 0
Und
R ich k − 1 2 R G ich k = 8 π G C 4 T ich k
in Gegenwart von Materie. Und jetzt können wir weiter gehen... :)

Das steht in jedem Buch. Aber die Frage ist: Ok ... wir kommen zu den Einstein-Gleichungen durch Variation von R. Aber warum variieren wir R und nicht irgendeine andere Größe? Ich habe diese Identität gefunden:

R ich k = κ ( T ich k − 1 2 T G ich k )
Aber beweisen kann ich es noch nicht. Und es ist dasselbe, wo ich angefangen habe

Kleiner Kommentar: Was ist passiert | G | in Gl. (1)?
Nichts ist passiert. Dies verfehlte
Dies fehlt
− G
hat darauf keinen Einfluss. hab ich vergessen zu schreiben :)
Es ist eher eine Art Lagrange- als Hamilton-Operator (es ist eigentlich ziemlich schwierig, eine Hamilton-Formel für GR zu erhalten). Und die Menge, die Sie angeben, ist die Aktion, nicht die Gesamtenergie des Systems.
Siehe Walds Buch im Anhang... "Allgemeine Relativitätstheorie". Es hat alles, was Sie wissen wollen und mehr.
Der Skalar ist keine Darstellung der Gesamtenergie, obwohl er etwas über die Spur des Energie-Impuls-Tensors verbunden ist.
Wollten Sie damit sagen, dass Sie von der Art, wie Einstein-Hilbert-Action geschrieben ist, enttäuscht sind, oder dass Sie die Enttäuschung sind? :) Wirklich nicht klar aus Ihrer Frage
Ich bin enttäuscht, weil ich nicht weiß, warum die Größe R die Hamiltonsche ist. Ich weiß nicht, wie ich es mit der Hamilton-Funktion verbinden soll.
Wie bereits erwähnt, ist R ein Lagrangian (eventuell wenden Sie die EL-Gleichung darauf an). Die Verwendung von R hat drei Hauptgründe - (1) es ist ein Skalar (also unveränderlich von Koordinatentransformationen) (2) es ist der einfachste Skalar, der aus dem Riemann-Tensor (seiner Spur) aufgebaut werden kann - dem Hauptakteur der Differentialgeometrie. (3) es ist logisch - Minimierung der globalen Krümmung für eine gegebene Verteilung von Energie / Impuls. Erinnern Sie sich an das klassische Analogon zur Minimierung von Seifenoberflächen, die Energiedichte pro Fläche tragen.
Ich weiß nichts über Seifenoberflächen. Es wäre hilfreich, wenn Sie mir etwas schicken, um zu erklären, was Sie meinen.
Ich nehme an, der Grund, warum wir nur variieren R liegt an der Einfachheit ... wenn wir etwas wie, sagen wir, den Ricci-Tensor variieren, dann wären zusätzliche Christoffel-Terme beteiligt. Prinzipiell machbar, nur unpraktisch.
@marek mehrere Benutzer dieser Seite (mich eingeschlossen) würden deine Fragen gerne beantworten, aber zuerst müssen sie wissen, was du meinst. Das wurde schon oft erwähnt − G ⋅ R ist die Lagrange- Dichte für die Allgemeine Relativitätstheorie. Sie bestehen immer wieder darauf, dass es sich um die Hamiltonsche Dichte handelt. Warum denken Sie so?
OK. Lassen Sie es mich erklären. Einstein im Buch Allgemeine Relativitätstheorie erwähnt, das ist die Hamiltonsche Dichte.
@marek leider habe ich Einsteins Buch nicht bei mir. Aber ich bin mir fast sicher, dass er etwas anderes meinte als das, was Sie vorschlagen. Beispielsweise könnte es sich bei einigen Koordinaten um den Hamilton-Operator für die geodätische Gleichung handeln. Übrigens bitte füge mich (wie ich es tue) am Anfang des Kommentars hinzu, sonst würde ich keine Benachrichtigung erhalten.
Ich fand es bereits in PAM Dirac Allgemeine Relativitätstheorie. Warum das so ist, wird erklärt. Ich werde es später heute hier schreiben.
@marek bitte schau dir auch meine Antwort an. Ich möchte nicht, dass meine Zeit verschwendet wird.
@Nachsicht. Ok, ich bin neu hier, also manchmal brauchen manche Dinge einfach ihre Zeit :)

Antworten (1)

Es scheint, als hättest du dich in dem Thema verirrt. Um einige Fakten zu verdeutlichen:

  1. Die Aktion für die Allgemeine Relativitätstheorie (Einstein-Hilbert-Aktion) ist wie üblich ein Integral der Lagrange-Dichte über die Raumzeit:

    S [ G ] = 1 16 π G ∫ D 4 X − G ⋅ R ,
    Wo − G ist die Quadratwurzel der Determinante des metrischen Tensors und R ist die Ricci-Skalarkrümmung der Metrik. Wieso ist es so? Weil es ein Postulat ist. Sie können diese Aktion nicht aus irgendeinem fundamentalen Prinzip (wie dem Äquivalenzprinzip) ableiten. Es könnten auch verschiedene Aktionen existieren. Aber die Einstein-Hilbert-Aktion ist die einfachste ihrer Art und führt daher zur einfachsten geometrischen Theorie der Gravitation: der Allgemeinen Relativitätstheorie.

  2. Die Quadratwurzel der Determinante des metrischen Tensors − G gibt es aus einem Grund: es ergibt ein natürliches Volumenelement der Riemannschen Geometrie:

    D Volumen = D 4 X − G
    ist das invariante Raumzeit-4-Volumen-Element. Die Quadratwurzel liefert die Invarianz der Einstein-Hilbert-Wirkung unter Diffeomorphismen (General Coordinate Transformations, GCTs) und damit die mathematische Manifestation des allgemeinen Relativitätsprinzips.

  3. Sie haben diese Identität gefunden

    R μ v = 8 π G C 4 ( T μ v − 1 2 T G μ v )
    und sind sich derzeit nicht sicher, wie es in der Theorie entsteht. Eigentlich ist dies keine Identität , sondern eine dynamische Bewegungsgleichung, die den Einsteinschen Gleichungen völlig äquivalent ist. Tatsächlich könnte man das eine leicht aus dem anderen ableiten. Wir gehen von Einsteins Gleichungen aus:
    R μ v − 1 2 R G μ v = 8 π G C 4 T μ v
    Nehmen wir die Spur dieser Gleichung (kontrahieren Sie sie mit der kontravarianten Metrik):
    R − 1 2 R N = 8 π G C 4 T μ v G μ v
    ( 1 − 1 2 N ) R = 8 π G C 4 T
    Wo N ist die Dimensionalität der Raumzeit ( N = 4 ). Jetzt ersetze ich den Ausdruck für R in der ursprünglichen Gleichung:
    R μ v − 8 π G C 4 ⋅ T G μ v ( 2 − N ) = 8 π G C 4 T μ v
    R μ v = 8 π G C 4 ( T μ v − 1 N − 2 T G μ v )
    Für N = 4 es reduziert sich auf
    R μ v = 8 π G C 4 ( T μ v − 1 2 T G μ v )
    was bedeutet, dass Ihre Gleichung vollständig äquivalent zu Einsteins Gleichung ist.

  4. Es gibt eine Möglichkeit, den Hamiltonschen Formalismus der Allgemeinen Relativitätstheorie zu konstruieren. Schauen Sie sich den ADM-Formalismus an . Ich vermute jedoch, dass Sie das nicht brauchen, und als Sie über Hamilton sprachen, bezogen Sie sich auf das Hamilton-Prinzip, das nur ein ausgefallener Name für das Prinzip der geringsten Wirkung ist. Das Prinzip der geringsten Wirkung ist das Herzstück des Lagrange-Formalismus.

@ Nachsicht. Es ist mir viel klarer. Ich wusste nichts über ADM-Formalismus. Ich nahm an, dass der Energie-Impuls-Tensor in diesem R selbst enthalten ist und natürlich seinen Platz auf der rechten Seite der Gleichungen bekommt. Aber es sieht so aus, als würde es dort zum neu ausbalancierten Ricci-Tensor auf der linken Seite hinzugefügt. Man kann dann sagen, dass der Ricci-Tensor hamiltonsch ist, weil er gleich dem Energie-Impuls-Tensor ist.
@marek Ich habe nichts von dem verstanden, was Sie über die Beziehung des Ricci-Tensors zum Hamiltonian geschrieben haben :) Aber ich bin froh, dass es Ihnen allmählich klarer wird.
@marek zu diesem Zusammenhang: Theoretische Physik ist eine exakte Wissenschaft und daher müssen wir dazu neigen, präzise mathematische Aussagen zu treffen. Im Zusammenhang mit der Allgemeinen Relativitätstheorie haben wir zwei verschiedene Arten von Dingen: Materie (die durch den Energie-Impuls-Tensor charakterisiert wird) und Schwerkraft (die per Definition die Krümmung der Raumzeit ist und durch den Riemann-Tensor und seine Kontraktionen charakterisiert wird). Einsteins Gleichungen (und der Einstein-Hilbert-Lagrangian, der verwendet wird, um sie zu erhalten) sind die Bewegungsgleichungen für die Schwerkraft.
@marek Es gibt auch Bewegungsgleichungen für Materie, und ihre Form hängt von der Art der Materie ab, die Sie betrachten. Der einfachste Fall ist ein Sondenpunktteilchen mit vernachlässigbarer Masse. Die Bewegungsgleichung eines solchen Teilchens ist die wohlbekannte geodätische Gleichung. Sie könnten auch einige Felder (Skalare / Elektromagnetismus / Spinoren) auf die Raumzeit legen und die Bewegungsgleichungen dafür erhalten. Aber es wird immer von den geometrischen Eigenschaften der Raumzeit (wie der affinen Verbindung) abhängen.
@marek und Bewegungsgleichungen für die Schwerkraft (Einsteins Gleichungen) hängen ebenfalls von den Eigenschaften ab, die sich auf das spezifische Materiemodell beziehen. Aber in diesem Fall können all diese Eigenschaften im Spannungs-Energie-Tensor zusammengefasst werden, der die vollständige Information darüber ausmacht, wie Ihre Materie mit der Schwerkraft interagiert. Das meinen Relativisten, wenn sie sagen, dass sich Materie in der Raumzeit bewegt und die Raumzeitkrümmung durch den Materieinhalt gegeben ist.
@marek Abschließend denke ich, dass Sie die beiden Arten von Bewegungsgleichungen verwechseln könnten, was Sie zu der Annahme verleiten könnte, dass der Spannungs-Energie-Tensor überhaupt etwas mit Geometrie zu tun hat.
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