Wie ist die Lagrange-Funktion in GR definiert?

Question

Wie ist die Lagrange-Funktion in GR definiert?

HerrDi

Wenn ich über die Schwarzschild-Metrik in der Allgemeinen Relativitätstheorie lese, sehe ich das manchmal
$L = G_{μ v} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v}$ $L=g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}$ und manchmal $L = \sqrt{G_{μ v} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v}} .$ $L=\sqrt{g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}.$ Was ist der richtige Weg?
Auch wie ist die Energie $E$ definiert als
$E = - \frac{\partial L}{\partial \dot{T}} = (1 - \frac{2 M}{R}) \dot{T} ?$ $E=-\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{t}}}=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot{t}~?$ Weil $E$ Hier gibt es keine Energieeinheiten. Übersehe ich hier etwas?

Kyle Kanos

Beide

L

$L$ 's führen zu denselben Bewegungsgleichungen, also sind sie wirklich äquivalent (versuchen Sie es in Minkowski-Metrik in kartesischen Koordinaten).

HerrDi

Aber,

L = \sqrt{g_{μ ν} {\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{ν}}

$L=\sqrt{g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}$ hat keine Energieeinheiten, oder?

QMechaniker

Die erste Teilfrage (v3) ist im Wesentlichen ein Duplikat von physical.stackexchange.com/q/149082/2451 und den darin enthaltenen Links.

Kyle Kanos

g_{μ ν} {\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{ν}

$g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu$ hat auch keine Energieeinheiten ;)

HerrDi

@KyleKanos, das tut es, weil

{\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{ν}

$\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}$ hat die Geschwindigkeitseinheiten zum Quadrat.

Kyle Kanos

Und das ist die Energieeinheit?

HerrDi

@KyleKanos, was ist mit der zweiten Frage?

Kyle Kanos

Ihr erstes kommt also vom Minimieren

\int d s^{2}

$\int ds^2$ benötigt wird also nur Cofaktor

m

$m$ ; die zweite kommt von der Minimierung

\int d s

$\int ds$ Sie benötigen also einen Cofaktor von

m c

$mc$ . Aber falls

c = m = 1

$c=m=1$ , sie sind sie gleich, nicht wahr?

HerrDi

@KyleKanos, ok, aber ist es richtig zu definieren

E = - \frac{\partial L}{\partial \dot{t}} = (1 - \frac{r}{2 M}) \dot{t}

$E=−\frac{∂L}{∂\dot{t}}=\left(1-\frac{r}{2M}\right)\dot{t}$ für beide Fälle?

Kyle Kanos

Das sollte richtig sein, aber vielleicht möchten Sie Ihre Lösung noch einmal überprüfen (ich denke, es ist

2 m / r

$2m/r$ , nicht

r / 2 m

$r/2m$ ).

HerrDi

@KyleKanos, du hast recht, es sollte 2 m / r sein, auch sollte es keinen Faktor von der Hälfte geben, weil

E = - \frac{\partial L}{\partial \dot{t}} = \frac{1}{2} (1 - \frac{2 M}{r}) \dot{t}

$E=-\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{t}}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot{t}$

Kyle Kanos

Lassen Sie uns diese Diskussion im Chat fortsetzen .

Jerry Schirmer

E

$E$ wird als Energie pro Masseneinheit angesehen. Beachten Sie auch, dass dies nicht der wahre Lagrange-Operator ist, sondern der Lagrange-Operator eines Punktpartikels, der sich in einer festen Hintergrundgeometrie bewegt. Richtigerweise sollten Sie dies ausdrücken als

S = m c^{2} \int \sqrt{g_{a b} {\dot{x}}^{a} {\dot{x}}^{b}} d τ

$S = mc^{2}\int\sqrt{g_{ab}{\dot x}^{a}{\dot x}^{b}}d\tau$ , aber die meisten Leute sind nicht daran interessiert, all dies zu verfolgen, und verwenden daher

S = \frac{1}{2} \int d τ g_{a b} {\dot{x}}^{a} {\dot{x}}^{b}

$S = \frac{1}{2}\int d\tau\, g_{ab}{\dot x}^{a}{\dot x}^{b}$ , die die gleichen Bewegungsgleichungen hat, und es ist viel einfacher, die Variation von ..

Phönix87

Beachten Sie, dass die zweite Wahl einen Null-Hamilton-Operator ergibt

Antworten (1)

Wie ist die Lagrange-Funktion in GR definiert?

Beide $L$ 's führen zu denselben Bewegungsgleichungen, also sind sie wirklich äquivalent (versuchen Sie es in Minkowski-Metrik in kartesischen Koordinaten).
Aber, $L=\sqrt{g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}$ hat keine Energieeinheiten, oder?
Die erste Teilfrage (v3) ist im Wesentlichen ein Duplikat von physical.stackexchange.com/q/149082/2451 und den darin enthaltenen Links.
$g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu$ hat auch keine Energieeinheiten ;)
@KyleKanos, das tut es, weil $\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}$ hat die Geschwindigkeitseinheiten zum Quadrat.
Ihr erstes kommt also vom Minimieren $\int ds^2$ benötigt wird also nur Cofaktor $m$ ; die zweite kommt von der Minimierung $\int ds$ Sie benötigen also einen Cofaktor von $mc$ . Aber falls $c=m=1$ , sie sind sie gleich, nicht wahr?
@KyleKanos, ok, aber ist es richtig zu definieren $E=−\frac{∂L}{∂\dot{t}}=\left(1-\frac{r}{2M}\right)\dot{t}$ für beide Fälle?
Das sollte richtig sein, aber vielleicht möchten Sie Ihre Lösung noch einmal überprüfen (ich denke, es ist $2m/r$ , nicht $r/2m$ ).
@KyleKanos, du hast recht, es sollte 2 m / r sein, auch sollte es keinen Faktor von der Hälfte geben, weil $E=-\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{t}}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot{t}$
$E$ wird als Energie pro Masseneinheit angesehen. Beachten Sie auch, dass dies nicht der wahre Lagrange-Operator ist, sondern der Lagrange-Operator eines Punktpartikels, der sich in einer festen Hintergrundgeometrie bewegt. Richtigerweise sollten Sie dies ausdrücken als $S = mc^{2}\int\sqrt{g_{ab}{\dot x}^{a}{\dot x}^{b}}d\tau$ , aber die meisten Leute sind nicht daran interessiert, all dies zu verfolgen, und verwenden daher $S = \frac{1}{2}\int d\tau\, g_{ab}{\dot x}^{a}{\dot x}^{b}$ , die die gleichen Bewegungsgleichungen hat, und es ist viel einfacher, die Variation von ..
Beachten Sie, dass die zweite Wahl einen Null-Hamilton-Operator ergibt

Prof. Legolasov · Answer 1

Der richtige Weg besteht darin, die reparametrisierungsinvariante Aktion zu definieren

S [X] = \int D τ \sqrt{G_{μ v} (X (τ)) \cdot \frac{D X^{μ}}{D τ} \frac{D X^{v}}{D τ}} .

$S[X] = \int d\tau \sqrt{g_{\mu \nu} (X(\tau)) \cdot \frac{dX^{\mu}}{d\tau} \frac{dX^{\nu}}{d\tau} }.$

Beachten Sie, dass die Auswahl von $\tau$ ist willkürlich. Das System hat eine große Gruppe von Eichsymmetrien - das sind Reparametrisierungen der Weltlinie (verschiedene Wahlmöglichkeiten von $\tau$ ).

Eine Möglichkeit, damit umzugehen, besteht darin, das System mit einer Lehre zu fixieren. Zum Beispiel können wir festlegen $\tau$ um eine Eigenzeit entlang der Geodätischen zu sein (induziert durch die Metrik):

D τ = \sqrt{G_{μ v} (X (τ)) D X^{μ} D X^{v}} .

$d\tau = \sqrt{g_{\mu \nu} (X(\tau)) dX^{\mu} dX^{\nu}}.$

Dies impliziert jedoch sofort, dass die Quadratwurzel in der Aktion gezwungen ist, gleich zu sein $1$ . Aus diesem Grund ist es praktisch, die Quadratwurzel ( $\sqrt{1} = 1$ , oder?) und schreiben

L = G_{μ v} (X (τ)) \cdot \frac{D X^{μ}}{D τ} \frac{D X^{v}}{D τ} .

$L = g_{\mu \nu} (X(\tau)) \cdot \frac{dX^{\mu}}{d\tau} \frac{dX^{\nu}}{d\tau}.$

Das funktioniert aber nur, wenn $\tau$ ist die richtige Zeit.

Außerdem sollten Sie die Lagrange-Funktion mit dem Gesamtfaktor von multiplizieren $m$ . Dadurch werden die Energieeinheiten wiederhergestellt.

Wie ist die Lagrange-Funktion in GR definiert?

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QMechaniker

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Jerry Schirmer

Phönix87

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Prof. Legolasov

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