Spannungs-Energie-Tensor für einen fermionischen Lagrange in gekrümmter Raumzeit - welcher erscheint im EFE?

$\require{cancel}$I) OP betrachtet Dirac-Fermionen in einer gekrümmten Raumzeit. Die Aktion von OP weist verschiedene Mängel auf. Die richtige Aktion lautet$^1$

$$S~=~\int\!d^nx~ {\cal L}, \qquad {\cal L} ~=~e L, \qquad L~=~T-V,\qquad e~:=~\det(e^a{}_{\mu})~=~\sqrt{|g|},$$ $$T~=~\frac{i}{2} \bar{\psi} \stackrel{\leftrightarrow}{\cancel{\nabla}} \psi, \qquad V~=~ \alpha j^a \eta_{ab} j^b, \qquad j^a~:=~ \bar{\psi} \gamma^a\psi,\qquad \bar{\psi}~:=~\psi^{\dagger}\gamma^0,$$ $$\bar{\psi}\stackrel{\leftrightarrow}{\cancel{\nabla}}\psi ~:=~ \bar{\psi}\stackrel{\leftrightarrow}{\cancel{\partial}}\psi +\frac{1}{2} \omega_{c, ab}~\gamma^{cab}\psi ~=~\bar{\psi}\left[\gamma^c\stackrel{\rightarrow}{\nabla_c} -\stackrel{\leftarrow}{\nabla_c}\gamma^c\right]\psi,$$ $$\stackrel{\rightarrow}{\nabla_c}\psi ~:=~ \stackrel{\rightarrow}{\partial_c}\psi +\frac{1}{4} \omega_{c, ab}~\gamma^{ab}\psi, \qquad \bar{\psi}\stackrel{\leftarrow}{\nabla_c} ~:=~ \bar{\psi}\stackrel{\leftarrow}{\partial_c} -\frac{1}{4} \bar{\psi}~\gamma^{ab}\omega_{c, ab},$$ $$\stackrel{\leftrightarrow}{\cancel{\partial}} ~:=~ \gamma^c\stackrel{\rightarrow}{\partial_c} - \stackrel{\leftarrow}{\partial_c}\gamma^c, \qquad \stackrel{\rightarrow}{\partial_c}~:=~E^{\mu}{}_c \stackrel{\rightarrow}{\partial_{\mu}}, \qquad \stackrel{\leftarrow}{\partial_c}~:=~ \stackrel{\leftarrow}{\partial_{\mu}}E^{\mu}{}_c,$$ $$\partial_{\mu}~:=~\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}, \qquad \gamma^{ab}~:=~\frac{1}{2}[\gamma^a,\gamma^b], \qquad \gamma^{abc}~:=~\frac{1}{2}\{\gamma^a,\gamma^{bc}\}_+. \tag{1}$$

II) Der Hauptpunkt ist, dass wir, um einen kovarianten kinetischen Term für ein Dirac-Fermion in gekrümmter Raumzeit aufzuschreiben, eine kovariante Ableitung verwenden sollten$\nabla_{\mu}\psi$eines Spinors$\psi$, und daher brauchen wir eine Spin-Verbindung $\omega_{\mu}{}^a{}_b$. Wir wiederum brauchen ein vielbein

$$g_{\mu\nu}~=~e^a{}_{\mu} ~\eta_{ab}~e^b{}_{\nu}, \qquad e^a{}_{\mu}~ E^{\mu}{}_b~=~\delta^a_b, \qquad E^{\mu}{}_a~e^a{}_{\nu}~=~\delta^{\mu}_{\nu}, \tag{2}$$

was (wir nehmen der Einfachheit halber an) kovariant erhalten ist

$$0~=~(\nabla_{\mu}e)^{a}{}_{\nu}~=~\partial_{\mu}e^{a}{}_{\nu} +\omega_{\mu}{}^a{}_b ~e^b{}_{\nu}- e^a{}_{\lambda}~\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}.\tag{3}$$

Damit ist der Spinzusammenhang vollständig bestimmt

$$2\omega_{\mu, ab}~=~2\left(-\partial_{\mu}e_{a\nu} +e_{a\lambda}~\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}\right)E^{\nu}{}_b ~=~-\left(\partial_{\mu}e_{a\nu} +\partial_a g_{\mu\nu}\right)E^{\nu}{}_b -(a\leftrightarrow b)$$ $$~=~-\partial_{\mu}e_{a\nu}~E^{\nu}{}_b-\partial_a e_{b\mu} + g_{\mu\nu}~\partial_a E^{\nu}{}_b -(a\leftrightarrow b),\tag{4}$$

und

$$2\omega_{c, ab}~:=~2E^{\mu}{}_c~\omega_{\mu, ab} ~=~-f_{cab}-f_{abc}-f_{acb}-(a\leftrightarrow b), \tag{5}$$

wo wir definiert haben

$$f_{abc}~:=~\partial_a e_{b\nu}~E^{\nu}{}_c . \tag{6}$$

III) Der kinetische Begriff wird

$$T~=~\frac{i}{2}\bar{\psi}\stackrel{\leftrightarrow}{\cancel{\nabla}}\psi ~=~\frac{i}{2}\bar{\psi}\stackrel{\leftrightarrow}{\cancel{\partial}}\psi -\frac{i}{4}\bar{\psi}~f_{abc}~\gamma^{cab}~\psi$$ $$~=~\frac{i}{2}\bar{\psi}\left[\gamma^c~E^{\mu}{}_c\stackrel{\rightarrow}{\partial_{\mu}} -\stackrel{\leftarrow}{\partial_{\mu}}E^{\mu}{}_c~\gamma^c \right]\psi -\frac{i}{4}\bar{\psi}~E^{\mu}{}_a~\partial_{\mu} e_{b\nu}~E^{\nu}{}_c ~\gamma^{cab}~\psi. \tag{7}$$

IV) Die natürliche Verallgemeinerung des Hilbert- SEM-Tensors

$$T^{\mu\nu}~=~- \frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}, \qquad T_{\mu\nu}~=~\frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S}{\delta g^{\mu\nu}},\qquad(\leftarrow\text{Not applicable!})\qquad \tag{8}$$

zu Fermionen ist durch die Formel gegeben

$$T^{\mu\nu}~=~-\frac{E^{\mu c}}{2e}\frac{\delta S}{\delta e^c{}_{\nu}}+(\mu\leftrightarrow \nu), \qquad T_{\mu\nu}~=~\frac{e_{c\mu}}{2e}\frac{\delta S}{\delta E^{\nu}{}_c}+(\mu\leftrightarrow \nu).\tag{9}$$

Formel (9) reduziert sich auf den Standard-Hilbert-SEM-Tensor (8), wenn die Aktion nur vom Vielbein durch die Metrik (2) abhängt. Formel (9) ist jedoch allgemeiner und im Fall von Fermionen in gekrümmter Raumzeit notwendig.

V) Der Hilbert-SEM-Tensor mit flachen Indizes wird dann

$$T_{cd}~:=~ E^{\mu}{}_c~ T_{\mu\nu} ~E^{\nu}{}_d~\stackrel{(9)}{=}~-\frac{e_{c\nu}}{2e}\frac{\delta S}{\delta e^d{}_{\nu}} +(c\leftrightarrow d) ~=~\frac{E^{\nu}{}_c}{2e}\frac{\delta S}{\delta E^{\nu d}} +(c\leftrightarrow d)$$ $$~\stackrel{(7)}{=}~\frac{i}{4}\bar{\psi}\left[\gamma_c\stackrel{\rightarrow}{\partial_d} -\stackrel{\leftarrow}{\partial_c}\gamma_d +\frac{1}{2} (f_{cba}-f_{abc}-f_{acb})~\gamma_d{}^{ab} \right]\psi -\frac{1}{2}\eta_{cd}L+(c\leftrightarrow d)$$ $$~\stackrel{(5)}{=}~\frac{i}{4}\bar{\psi}\left[\gamma_c\stackrel{\rightarrow}{\partial_d} -\stackrel{\leftarrow}{\partial_c}\gamma_d +\frac{1}{2} \omega_{c,ab}~\gamma_d{}^{ab} \right]\psi -\frac{1}{2}\eta_{cd}L+(c\leftrightarrow d)$$ $$~\stackrel{(1)}{=}~\frac{i}{4}\bar{\psi}\left[\gamma_c\stackrel{\rightarrow}{\nabla_d} -\stackrel{\leftarrow}{\nabla_c}\gamma_d\right]\psi -\frac{1}{2}\eta_{cd}L+(c\leftrightarrow d). \tag{10}$$

Gl. (10) ist die Formel für den (verallgemeinerten) Hilbert-SEM-Tensor eines Dirac-Fermions in gekrümmter Raumzeit. Dies ist der entsprechende Materiequellterm in der EFE , vgl. Titelfrage von OP (v3). Weitere Details finden Sie auch in meinen Phys.SE-Antworten hier und hier .

--

$^1$Man kann zeigen, dass die Lagrange-Dichte (1) reell ist, indem man verwendet

$$(\gamma^a)^{\dagger}~=~ \gamma^0\gamma^a\gamma^0,\qquad (\gamma^0)^2~=~{\bf 1}.\tag{11}$$

Konventionen: In dieser Antwort werden wir verwenden$(+,-,-,-)$Minkowski-Zeichenkonvention und Clifford-Algebra

$$\{\gamma^a,\gamma^b\}_+~=~2\eta^{ab}{\bf 1}.\tag{12}$$

Griechische Indizes$\mu,\nu,\lambda, \ldots,$sind sogenannte gekrümmte Indizes, während römische Indizes$a,b,c, \ldots,$sind sogenannte Flat- Indizes.

Wie @Holographer in einem Kommentar erwähnt hat, lautet die korrekte Formel für den Stress-Tensor, der in das EFE eintritt

$$T_{\mu\nu} = \frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_{\text{matter}}}{ \delta g^{\mu\nu} }$$ wohingegen Sie den kanonischen Spannungsenergietensor berechnen. Es gibt jedoch eine subtile Beziehung zwischen den beiden, auf die ich hier näher eingehen werde.

Abgesehen von einer Theorie, die nur Skalare enthält, geht der kanonische Spannungstensor niemals in die EFE ein. Dies liegt daran, dass der kanonische Spannungstensor im Allgemeinen nicht symmetrisch ist und daher möglicherweise nicht derselbe Spannungstensor sein kann, der in die EFE eingeht. Zum Beispiel ist der kanonische Spannungstensor für Elektromagnetismus

$$(T^{EM}_{\mu\nu})_{\text{canonical}} = F^\rho{}_\mu \partial_\nu A_\rho + \frac{1}{4} g_{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta}$$ was nicht nur nicht symmetrisch, sondern auch nicht eichinvariant ist. PS - Die Nichtsymmetrie ist auf den Spin des beteiligten Feldes zurückzuführen und steht in engem Zusammenhang mit dem Drehimpulstensor.

Es gibt jedoch eine Mehrdeutigkeit in der Konstruktion des Spannungstensors (die Mehrdeutigkeit ändert nicht die erhaltenen Ladungen, die physikalische Größen sind). Diese Mehrdeutigkeit ermöglicht die Konstruktion eines verbesserten Spannungstensors (oft als Belinfante-Tensor bekannt), der symmetrisch und erhalten ist. Es ist dieser verbesserte Tensor, der in die EFE eintritt. (siehe dieses Buch )

Um die Äquivalenz zu sehen, erinnern wir uns an die Standardkonstruktion des Spannungstensors. Betrachten Sie eine Koordinatentransformation

$$x^\mu \to x^\mu + a^\mu (x)$$ Da der ursprüngliche Lagrangian unter Übersetzungen unveränderlich ist (wobei$a^\mu$konstant ist), ist die Änderung der Aktion unter einer solchen Koordinatentransformation $$\delta S = \int d^d x \sqrt{-g} \nabla_\mu a_\nu T_B^{\mu\nu}$$ Nun, wenn der Spannungstensor symmetrisch ist, können wir schreiben $$\delta S = \frac{1}{2} \int d^d x \sqrt{-g} \left( \nabla_\mu a_\nu + \nabla_\nu a_\mu \right) T_B^{\mu\nu}$$ Beachten Sie, dass der Term in Klammern genau die Änderung der Metrik unter der Koordinatentransformation ist. Daher, $$\delta S = \frac{1}{2} \int d^d x \sqrt{-g} \delta g_{\mu\nu} T_B^{\mu\nu} \implies \frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}} = T_B^{\mu\nu}$$

Somit sehen wir, dass der symmetrische Belinfante-Spannungstensor genau der Gravitationsspannungstensor ist. Beachten Sie natürlich, dass das, was ich gesagt habe, speziell für einen Minkowskischen Hintergrund gilt, seit der Konstruktion von$T_B^{\mu\nu}$nimmt Lorentz-Invarianz an.