Sollte die kinetische Energie für eine QFT im gekrümmten Raum konform invariant sein?

Bei der Kopplung eines Skalarfeldes an die Gravitation führt man manchmal einen zusätzlichen Term in die Wirkung ein: S = ∫ D 4 X − G ( L − 1 2 H 0 R ϕ 0 2 ) Wo R ist der Ricci-Skalar, L ist die Sache Lagrange, und H 0 ist ein Parameter, der darauf abgestimmt ist, die kinetische Energie konform invariant zu machen. Dieser sogenannte "nicht-minimale" Term ist im flachen Raum Null, aber seine Ableitung in Bezug auf die Metrik ergibt eine Modifikation des kanonischen Energie-Impuls-Tensors, der den "Verbesserten Energie-Impuls-Tensor" definiert.

In dem Papier https://doi.org/10.1103/PhysRevD.14.1965 (Entschuldigung für die Paywall) schreibt Collins das

„Man könnte sagen, dass der minimale Weg vom flachen zum gekrümmten Raum nicht für den Begriff der kinetischen Energie geeignet ist 1 2 ( ∂ ϕ ) 2 , aber damit es konform invariant ist".

Wenn eine Theorie konforme Invarianz aufweist, großartig. Aber ich verstehe nicht, warum so etwas auferlegt werden sollte, besonders für eine massive Theorie. Gibt es einen intuitiven Grund, warum der kinetische Term in einem Lagrangian konform invariant sein sollte?

Die minimal gekoppelte Theorie hat einen verbesserten und einen nicht verbesserten Spannungstensor. Die konform gekoppelte Theorie hat auch einen verbesserten und nicht verbesserten Spannungstensor. Alle vier sind unterschiedlich. Verbesserung bedeutet das Hinzufügen von Termen, die auf der Schale verschwinden, um die Symmetrie deutlicher zu machen. Es hat nichts damit zu tun, die Theorie zu ändern.
Vielleicht wäre "konform kovariant" angemessener?
Wenn es sich um eine massive Theorie handelt, die R ϕ 2 Begriff wird die Theorie nicht konform machen.

Antworten (1)

Der masselose Skalar im flachen Raum ist klassisch konform, daher ist es natürlich, alles Notwendige zu tun, um diese Symmetrie beim Anheben auf einen gekrümmten Hintergrund aufrechtzuerhalten.

Der massive Skalar ist nicht konform und kann nicht konform sein.

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Das Obige ist in gewissem Sinne richtig, bedarf aber der Klärung. Eine konforme Transformation ist ein Sonderfall einer allgemeinen Koordinatentransformation, und daher ist jede Theorie auf einem gekrümmten Hintergrund unter konformen Transformationen invariant ! Wenn wir sagen, dass eine Theorie konform ist, ist die nichttriviale Aussage, dass sie auf einem flachen Raum konform ist. Damit eine Theorie im flachen Raum konform ist, muss die Theorie im gekrümmten Raum sowohl diffeomorphismusinvariant als auch Weyl-invariant sein.

Eine Weyl-Transformation ist keine Koordinatentransformation, sondern eine lokale Neuskalierung der Metrik G μ v ' ( X ) = Ω 2 ( X ) G μ v ( X ) (Beachten Sie, dass eine konforme Transformation eine Koordinatentransformation ist , die dazu führt, dass die Metrik auf die gleiche Weise transformiert wird). Damit nun die Theorie des gekrümmten Raums derjenigen des flachen Raums entspricht, müssen die Symmetrien im gekrümmten Raum denen des flachen Raums entsprechen. Der masselose Skalar, der im flachen Raum klassisch konform ist, muss also im gekrümmten Raum eine Weyl-Invarianz haben.

Nur damit wir eine konkrete Theorie haben, ist die Aktion

S = 1 2 ∫ D D X G ( G μ v ∂ μ ϕ ∂ v ϕ + D − 2 4 ( D − 1 ) R ϕ 2 − v ( ϕ ) )

Der Punkt ist, wenn Sie die nicht einbeziehen R ϕ 2 Begriff, und nehmen Sie die Grenze des flachen Raums, die Theorie wird tatsächlich nicht winkeltreu sein.

Aber würde die Krümmung nicht eine Längenskala einführen? Ich stelle mir vor, dass dies die konforme Invarianz beeinträchtigen sollte.
@Andrea Ich glaube, ich hatte ein Missverständnis, als ich diese Antwort schrieb. Eine konforme Transformation ist ein Diffeomorphismus, und daher ist jede Theorie auf einem gekrümmten Hintergrund konform. Die zusätzliche Symmetrie auf einem gekrümmten Hintergrund, die es ermöglicht, dass die flache Theorie konform ist, ist die Weyl-Symmetrie. Ich werde meine Antwort gleich bearbeiten.
Cool! Ich weiß selbst nicht viel über konforme Transformationen, deshalb habe ich gefragt
Ich denke, es gibt zwei verschiedene Verwendungen des Ausdrucks „konforme Transformation“: entweder eine Neuskalierung der Koordinaten oder eine Neuskalierung der Koordinaten und der Felder
@Andrea Sie könnten dasselbe über Lorentz-Transformationen sagen. Typischerweise transformieren sich Felder nicht trivial in Bezug auf Koordinatentransformationen.
Fair genug ... also heißt es besser, dass sich einige Lorentz-Skalare unter konformen Transformationen trivial transformieren und andere nicht?
Da sich Tensorfelder in GR unter allgemeinen Koordinatentransformationen kovariant transformieren sollten, transformieren sie sich dann auch als Tensoren unter konformen Transformationen? Wenn dann eine Theorie im flachen Raum konform ist, das Analogon im gekrümmten Raum jedoch nicht, dann sollte man die Theorie modifizieren, da die gekrümmte Version aufgrund der allgemeinen Kovarianz immer konform sein sollte. Ist das das Mitnehmen?
@ user143854 Nein, das sage ich nicht. Die gekrümmte Raumtheorie sollte sich der flachen in der flachen Raumgrenze annähern. Dies bedeutet, dass es sich der Flachraumtheorie mit konformer Invarianz annähern sollte. Der Weg, dies zu tun, besteht darin, eine gekrümmte Raumtheorie mit Weyl- Symmetrie zu haben.
@Andrea Nun, wenn die Theorie nicht konform invariant ist, gibt es keine wirklich nützliche Vorstellung davon, wie ϕ transformiert sich unter einer konformen Transformation. Aber man kann immer sagen, dass es sich auf eine bestimmte Weise verändert.
Ok ich glaube ich sehe meine Verwirrung. Die konforme Symmetrie des kinetischen Begriffs für ein freies Skalarfeld im flachen Raum ist eine Folge der Theorie, sie ist nicht etwas Auferlegtes, wie ich ursprünglich dachte. Dann sollte bei der Verallgemeinerung auf den gekrümmten Raum die Weyl- und Diffeomorphismus-Invarianz erhalten bleiben, was den Verbesserungsterm in der Aktion motiviert, die im flachen Raum verschwindet. Ist das eher zielführend?
Sollte die kinetische Energie für eine QFT im gekrümmten Raum konform invariant sein?
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