Wann ist der Spannungs-Energie-Tensor als Wirkungsvariation in Bezug auf die erhaltene Metrik definiert?

Tatsächlich ist die metrische Variationsdefinition für den Spannungs-Energie-Tensor (aufgrund von Hilbert, wie von Qmechanic bemerkt) ein universelles Verbesserungsverfahren für den kanonischen Spannungs-Energie-Tensor (und stimmt daher nicht immer mit letzterem überein), in gewissem Sinne unten präzisiert werden. Ein solches Verfahren ist notwendig, weil der kanonische Spannungs-Energie-Tensor, obwohl er immer erhalten bleibt, oft andere physikalische Anforderungen wie Eichinvarianz (da er eine beobachtbare Größe ist), Symmetrie (erforderlich, wenn wir wollen, dass er eine Quelle für die Gravitation ist) nicht erfüllt Feld) und Spurlosigkeit (für lokal skalierte invariante Theorien). Beispielsweise versagen alle drei Anforderungen für reine Elektrodynamik in vier Raum-Zeit-Dimensionen.

Selbst wenn es sich um eine Feldtheorie in der Minkowski-Raumzeit handelt, ist diese zwangsläufig an die Gravitation gekoppelt, allein schon aufgrund der Tatsache, dass die Lagrange-Funktion von der Raum-Zeit-Metrik abhängt (hier nimmt man den besonderen Wert der Minkowski-Metrik). Die besondere Dynamik der Metrik ist irrelevant – alles, was wir brauchen, ist, dass es außer der Metrik keine anderen „externen“ Felder gibt und dass das Feldaktionsfunktional diffeomorphismusinvariant ist.

Lassen$L=L(\phi,g)$ein lokaler Feld-Lagrangian in der Raumzeit sein$(M,g)$, und

$$S_K[\phi,g]=\int_K L(\phi,g)\sqrt{|\det g|}\mathrm{d}x\ ,\quad K\subset M\text{ any bounded region}$$ die entsprechende(n) Aktionsfunktion(en) indiziert durch $K$wie oben). Wir erlauben $L$endliche, aber ansonsten willkürliche Ordnungsabhängigkeit zu haben $\phi$und $g$, und keine explizite Raum-Zeit-Abhängigkeit, da wir wollen, dass sie nicht von anderen Feldern abhängt. Die infinitesimale Variation von $S_K$bezüglich eines Vektorfeldes $X$an $M$(dh ein infinitesimaler Diffeomorphismus) ist dann gegeben durch $$\delta_X S_K[\phi,g]=\int_K\left(\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta g_{\mu\nu}}\delta_X g_{\mu\nu}+\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta \phi^j}\delta_X \phi^j+\nabla_\mu(T^{\mu\nu}X_\nu)\right)\sqrt{|\det g|}\mathrm{d}x\ ,\quad X_\rho=g_{\rho\sigma}X^\sigma\ ,$$ wo $\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta g_{\mu\nu}}$und $\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta \phi^j}$sind jeweils die Euler-Lagrange (dh Variations-) Ableitungen von $L(\phi,g)$in Gedenken an $g$und $\phi$, $\nabla$ist das zugeordnete kovariante Levi-Civita-Derivat $g$, $T^{\mu\nu}$ist der (kanonische oder verbesserte) Stress-Energie-Tensor, $$\delta_X g_{\mu\nu}=\nabla_\mu X_\nu+\nabla_\nu X_\mu$$ ist die Lie-Ableitung von $g$eine lange $X$und die infinitesimale Feldvariation $\delta_X\phi^j$hängt davon ab, wie wir heben $X$zu einem projizierbaren Vektorfeld auf den Gesamtraum des Faserbündels über $M$wo die Felder $\phi^j$live (zum Beispiel, wenn sie alle Skalarfelder sind, haben wir einfach $\delta_X\phi^j=-X\phi^j=-X^\mu\nabla_\mu\phi^j$).

Es gibt eine implizite, aber entscheidende Anforderung an die zulässigen Verbesserungen für$T^{\mu\nu}$- nämlich der verbesserte Noetherstrom$j^\mu(L,X)=T^{\mu\nu}X_\nu$verbunden mit der Möchtegern-Symmetrie$X$des Aktionsfunktionals sollte nicht nur linear sein$X$hängen aber nur von den Punktwerten ab $X$(wir nennen diese Eigenschaft Ultralokalität ) - daher haben wir sie bereits als Tensorkontraktion geschrieben. Diese Anforderung wirkt sich in gewissem Umfang auch auf die Definition von aus$\delta_X\phi^j$, aber die Details davon sind im Folgenden nicht wichtig. Warum bestehen wir auf dieser Anforderung? Wie wir weiter unten sehen werden, hebt Ultralokalität ein einzigartiges Verbesserungsrezept hervor$T^{\mu\nu}$die zudem alle physikalischen Anforderungen befriedigt. Diese Idee gilt allgemeiner für jede lokale Symmetrie – zum Beispiel kann sie verwendet werden, um den kanonischen Noether-Strom zu verbessern, der mit lokalen Eichsymmetrien verbunden ist.

Diffeomorphismus-Invarianz des Aktionsfunktionals bedeutet, dass wir dies fordern$\delta_X S_K[\phi,g]=0$ für alle $X,\phi,g,K$. Wenn zusätzlich die Felder$\phi^j$die Euler-Lagrange-Bewegungsgleichungen erfüllen, haben wir das

$$2\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta g_{\mu\nu}}\nabla_\mu X_\nu+\nabla_\mu(T^{\mu\nu}X_\nu)=\left(2\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta g_{\mu\nu}}+T^{\mu\nu}\right)\nabla_\mu X_\nu+X_\nu\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0\ .$$ Die erste Identität scheint trivial, folgt aber tatsächlich aus der Ultralokalität des verbesserten Noetherstroms, wie oben erklärt. Seit $X$ist willkürlich und daher können wir spezifizieren $X_\nu$und $\nabla_\mu X_\nu$unabhängig an jedem Punkt von $M$, erhalten wir auf einen Schlag:

1. Die gesuchte Variationsformel für den verbesserten Spannungs-Energie-Tensor

   $$T^{\mu\nu}=-2\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta g_{\mu\nu}}$$ und damit die Symmetrie$T^{\mu\nu}=T^{\nu\mu}$;

2. Das kovariante Erhaltungsgesetz$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$;

3. Wenn die Metrik zufällig einer Dynamik gehorcht, die durch einen Lagrange bestimmt wird$L_G(g)$, dann$T^{\mu\nu}$automatisch zur Quelle der metrischen Bewegungsgleichungen. Dies garantiert auch die Einhaltung des zweiten Noether-Theorems, wie es sein sollte - der kanonische Noether-Strom, der mit der gesamten (dh Metrik + Körper) Lagrange und to verbunden ist$X$verschwindet immer noch auf der Schale, wenn das Gesamtwirkungsfunktional auch diffeomorphismusinvariant ist.

Auch wenn es nicht trivial ist zu zeigen,$T^{\mu\nu}$ist auch zufällig spurlos, wenn die Feldtheorie lokale Skaleninvarianz aufweist.

Wenn die Felder$\phi^j$sind alle skalar und$L(\phi,g)$ist ein Lagrangeoperator erster Ordnung in$\phi$mit einem Klein-Gordon-ähnlichen kinetischen Teil und nicht abhängig von Ableitungen von$g$, dann$T^{\mu\nu}$fällt mit dem kanonischen Spannungs-Energie-Tensor zusammen. Dies gilt nicht mehr für Spinorfelder, deren Lagrangefunktion durch die Spinverbindung meist auch von den ersten Ableitungen der Metrik abhängt, für skalare Felder mit nichtminimaler Krümmungskopplung oder für das elektromagnetische Feld.

Das obige Verständnis der metrischen Variationsdefinition des Spannungs-Energie-Tensors in voller Allgemeinheit kam überraschend spät – es wurde von M. Forger und H. Römer gründlich entwickelt („Currents and the Energy-Momentum Tensor in Classical Field Theory: a Fresh Look at an Old Problem". Ann.Phys. 309 (2004) 306-389, arXiv:hep-th/0307199 ), deren Arbeit wir für (viele) weitere Details und Beispiele wärmstens empfehlen.

Nun, Sie können keine alte Materietheorie im flachen Minkowski-Raum nehmen und in einen gekrümmten metrischen Tensor stecken$g_{\mu\nu}$Handeln Sie in der Sache nach Belieben, wenn Sie das meinen. Der Vorbehalt ist, dass die resultierende Materieaktion ein allgemeines relativistisches Diffeomorphismus-invariantes Funktional der Form sein sollte

$$S_{\rm m}[\Phi, g]~=~ \int \! d^4x ~\sqrt{|g|}~ L(\Phi,\nabla\Phi, g ).$$ Dann bleibt der Hilbert-Spannungs-Energie-Impuls (SEM)-Tensor erhalten, vgl. zB meine Phys.SE antwortet hier und hier .