Äquivalenz zweier Definitionen des Spannungs-Energie-Tensors in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Was Sie im Wesentlichen interessiert, ist die Äquivalenz zwischen dem kanonischen und dem Hilbert-Spannungs-Energie-Tensor.

Mir fällt auch ein, dass der Begriff des kanonischen Tensors klarer gemacht werden kann. Ich werde nicht viele genaue Beweise machen, aber ich werde versuchen, die Dinge für Sie "glaubwürdig" zu machen.

Naturschutzgesetze:

Um den kanonischen Tensor zu verstehen, müssen Sie die Erhaltungssätze verstehen. In der klassischen Mechanik (nichtrelativistisch)$Q$ist eine Erhaltungsladung, wenn$Q$ist eine Funktion

$$Q:T\mathcal C\rightarrow \mathbb R,\ (q,\dot q)\mapsto Q(q,\dot q)$$ im Phasenraum (in diesem Fall Geschwindigkeitsphasenraum, aber Sie können dies auch über den Impulsphasenraum in der Hamilton-Mechanik tun), wobei Folgendes zu erfüllen ist:

Wenn$q(t)$eine Bahn ist, die die Bewegungsgleichungen erfüllt, dann entlang dieser Bahnen

$$\frac{d}{dt}Q(q(t),\dot q(t))=0.$$

In der klassischen Feldtheorie ist ein Erhaltungssatz durch eine Kontinuitätsgleichung gegeben. Wenn$\rho$ist ein Skalarfeld und$\mathbf j$ein Vektorfeld ist, dann hat eine Kontinuitätsgleichung die Form

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf j=0,$$ Wo $\rho$ist die Dichte einer Menge, und $\mathbf j$ist die Stromdichte oder Flussdichte derselben Größe.

Dieses Erhaltungsgesetz ist lokal und kann in ein "globales" Erhaltungsgesetz in Form eines klassischen mechanischen Gesetzes umgewandelt werden. Lassen Sie uns definieren

$$Q(t)=\int d^3x\ \rho(\mathbf x,t),$$ wobei sich das Integral zur Zeit über den gesamten Raum erstreckt $t$. Die zeitliche Ableitung von $Q$ist dann $$\frac{dQ}{dt}=\int d^3x\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\int d^3x\ \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf j=-\int_{\partial\mathbb R^3}d\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf j,$$ wobei bei der letzten Gleichheit der Satz von Gauß verwendet wurde. Wenn die Stromdichte $\mathbf j$lokalisiert ist und sich nicht ins Unendliche erstreckt, dann verschwindet der Randterm, also haben wir $dQ/dt=0$.

In der relativistischen Feldtheorie (mit$c=1$) hat eine Kontinuitätsgleichung die Form

$$\partial_\mu j^\mu=0,$$ Wo $(j^\mu)=(\rho,\mathbf j)$. Das ist genau das Gleiche wie vorher, die einzige zusätzliche Information ist die Dichte $\rho$und der Strom $\mathbf j$müssen zusammen einen 4-Vektor bilden, um Lorentz-kovariant zu sein.

Energie und Schwung:

Betrachten Sie ein beliebiges Feld. Das Feld hat eine Gesamtenergie$E$. Diese Energie ist höchst nichtlokal, sie ist im Grunde die Energie des gesamten Feldes, das sich über den gesamten Raum erstreckt. Wir erwarten, dass wir der Gesamtenergie eine lokale Dichte zuordnen können$\rho$und eine Stromdichte$\mathbf S$, befriedigend

$$E=\int d^3x\ \rho(\mathbf x,t)$$ Und $$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf S=0.$$

Das Feld hat auch eine totale Dynamik$\mathbf P$mit kartesischen Komponenten$P^i$. Der$i$te Komponente hat eine Impulsdichte$\pi^i$, was befriedigt

$$P^i=\int d^3x\ \pi^i(\mathbf x,t),$$ und eine Stromdichte $\boldsymbol\sigma^i$, die zusammen der Kontinuitätsgleichung gehorchen $$\frac{\partial\pi^j}{\partial t}+\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}^j=0.$$ In Komponenten ist dies $$\frac{\partial \pi^j}{\partial t}+\frac{\partial\sigma^{ij}}{\partial x^i}=0,$$ Wo $\sigma$ist ein Tensor zweiter Ordnung, der als Spannungstensor bezeichnet wird.

In der Relativitätstheorie werden Energie und Impuls zu einem einzigen 4-Vektor, dem 4-Impuls, vereint:

$$(p^\mu)=(E,\mathbf p),$$ also haben wir die einheitliche Relation $$P^\mu=\int d^3x\ \pi^\mu,$$ und die Kontinuitätsgleichung ist $$\frac{\partial\pi^\nu}{\partial t}+\frac{\partial\sigma^{i\nu}}{\partial x^i}=0.$$ Dies ist relativistisch invariant, wenn wir es so schreiben können $$0=\partial_\mu T^{\mu\nu},$$ Wo $T^{\mu\nu}$ist ein Lorentz-Tensor, der als Spannungs-Energie- (oder Energie-Impuls-) Tensor bezeichnet wird und dessen Komponenten die folgende Bedeutung haben: $$T^{00}\text{ - Energy density} \\ T^{0i}\text{ - Momentum density} \\ T^{i0}\text{ - Energy flux density/current density} \\ T^{ij}\text{ - Stress tensor/i-th component of the flux density of the j-th momentum component}.$$

Wie Sie sehen können, erscheint die Flussinterpretation hier richtig.

Satz von Noether:

Ich möchte mich hier kurz fassen, da dieser Beitrag schon überlang ist. Folgendes sollte aus einem Kurs über klassische Mechanik klar sein :

Zu jeder infinitesimalen Symmetrie eines physikalischen Systems gibt es eine entsprechende Erhaltungsladung. Dies ist der Satz von Noether. In mathematischer Form die Variation$\delta q^i$ist eine infinitesimale Quasi-Symmetrie der Lagrange-Funktion$L$, wenn unter der Variation, ändert es sich in eine Gesamtableitung:

$$\delta L=\frac{d}{dt}K$$ für eine Phasenraumfunktion $K$.

Dann die Anklage$Q$gegeben von

$$Q=\frac{\partial L}{\partial\dot q^i}\delta q^i-K$$ konserviert ist, (hat $dQ/dt=0$), sofern die Bewegungsgleichungen gelten.

In der klassischen Mechanik ist es üblich, Folgendes abzuleiten:

• Die Gesamtenergie$E$bleibt erhalten, wenn das System unter Zeitübersetzungen invariant ist .

• Der totale Schwung$\mathbf p$bleibt erhalten, wenn das System unter räumlichen Translationen unveränderlich ist .

In der Feldtheorie verwenden wir eine Lagrange-Dichte$\mathcal L$Theorien zu formulieren. Es gibt ein entsprechendes Ergebnis, auch Satz von Noether genannt. Die dynamischen Felder seien mit bezeichnet$\phi^a(\mathbf x,t)$. Die Variation$\delta\phi^a$ist eine Quasi-Symmetrie des Systems, wenn sich die Lagrange-Funktion als ändert$\delta\mathcal L=\partial_\mu K^\mu,$Wo$K^\mu$ist ein 4-Vektorfeld. Für eine solche Quasi-Symmetrie ist der Strom

$$j^\mu=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\partial_\mu\phi^a}\delta\phi^a-K^\mu$$ erfüllt $$\partial_\mu j^\mu=0,$$ sofern die Bewegungsgleichungen gelten.

Wenn der Lagrange keine explizite Abhängigkeit von den Raumzeitkoordinaten hat, dann die Raumzeittranslation$x^\mu\mapsto x^\mu+a^\mu$für einen konstanten 4-Vektor$a^\mu$ist eine Quasisymmetrie.

Die Anwendung des Satzes von Noether ergibt dies

$$j^\mu=T^\mu_{\ \nu}a^\nu$$ konserviert wird, wo $$T^\mu_{\ \ \nu}=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\partial_\mu\phi^a}\partial_\nu\phi^a-\delta^\mu_\nu\mathcal L$$ ist der kanonische Spannungsenergietensor.

Wenn$a^\mu$war also wirklich willkürlich$T$selbst wird in dem Sinne konserviert, dass$\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$. Wir können uns identifizieren $T$mit dem zuvor besprochenen Tensorfeld, weil es ein konservierter Strom ist, der mit Raum-Zeit-Translationen verbunden ist, also den Energie-Impuls-4-Strom ausdrückt, was genau dasselbe ist, was wir zuvor in einer heuristischeren Weise betrachtet haben.

Ersatzströme:

Annehmen, dass$j^\mu$ist ein 4-Strom. Die global erhaltene Ladung ist

$$Q=\int d^3x\ j^0.$$ Wenn $\Sigma^{\mu\nu}$ist dann ein antisymmetrischer Tensor $$\tilde{j}^\mu=j^\mu+\partial_\nu\Sigma^{\mu\nu}$$ erzeugt die gleiche Ladung $Q$, unter der Vorraussetzung, dass $\Sigma$fällt ins Unendliche ab. Fühlen Sie sich frei, es zu überprüfen!

Dies ist relevant, weil im Allgemeinen der kanonische Tensor$T^{\mu\nu}$hat einige gute Eigenschaften nicht. Es wird

• nicht im Allgemeinen symmetrisch sein, aber die Erhaltung des Drehimpulses hätte dies (schlagen Sie nach);

• im Allgemeinen nicht eichinvariant für Eichtheorien sein, was ein großes Nein-Nein ist;

• nicht im Allgemeinen spurlos für konform invariante Felder sein, was wiederum ein Fauxpas ist.

Für eine Skalartheorie ist der kanonische Tensor in Ordnung, aber wenn Sie ihn für das elektromagnetische Feld berechnen, begeht er alle drei Verbrechen, die ich oben skizziert habe.

Es ist jedoch möglich, eine Transformation der oben skizzierten Art durchzuführen, um einen äquivalenten (in dem Sinne, dass er dieselben globalen Erhaltungsladungen erzeugt) Tensor zu erzeugen, der alle drei Eigenschaften erfüllt. Es gibt auch eine Möglichkeit, dies systematisch durchzuführen, die als Belinfante-Rosenfeld-Tensor bezeichnet wird (nachschlagen!). Es ist eigentlich der Belinfante-Tensor, dem der Hilbert-Tensor gleich ist .

Der Hilbert-Tensor:

Hier werde ich versuchen zu begründen, dass der Hilbert-Tensor dasselbe ist wie ein Tensor, der dem kanonischen Tensor entspricht (Äquivalenz im zuvor definierten Sinne).

Das kovariante Erhaltungsgesetz für den Hilbert-Tensor kann aus einem Noether-Theorem-ähnlichen Ergebnis (dies hängt mit dem sogenannten zweiten Noether- Theorem zusammen) erhalten werden, wenn es auf die Diffeomorphismus-Invarianz (Koordinateninvarianz) von GR angewendet wird. Betrachten Sie ein Materiefeld$\psi$mit allgemein kovariantem Lagrange$\mathcal L_m$. Die Aktion ist

$$S[\psi,g]=\int d^4x\ \mathcal L_m.$$

Eine infinitesimale Koordinatentransformation wirkt über die Lie-Ableitung auf die Felder, also wenn wir haben$x^\mu\mapsto x^\mu+\epsilon \xi^\mu(x)$(mit dem Vektorfeld$\xi^\mu$auf der Integrationsgrenze verschwindet), dann haben wir$\delta\psi=\mathcal L_\xi\psi$Und$\delta g_{\mu\nu}=\mathcal L_\xi g_{\mu\nu}$.

Die Änderung in der Aktion ist

$$\delta S=\int d^4x\left(\frac{\delta S}{\delta\psi}\delta\psi+\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}\delta g_{\mu\nu}\right).$$

Wenn die materiellen Bewegungsgleichungen erfüllt sind, dann ist die erste funktionale Ableitung (nach$\psi$) verschwindet, also bleibt uns übrig

$$\delta S=\int d^4x\ \frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}\delta g_{\mu\nu}.$$

Die Aktion war völlig unabhängig von den Koordinaten, sodass die Variation zwangsläufig verschwindet. Die Lie-Ableitung der Metrik kann geschrieben werden als

$$\mathcal L_\xi g_{\mu\nu}=\nabla_\mu\xi_\nu+\nabla_\nu\xi_\mu.$$

Lassen Sie uns definieren

$$T^{\mu\nu}=\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}.$$ Wir haben dann $$\delta S=\int d^4x\sqrt{-g}\frac{1}{2}T^{\mu\nu}(\nabla_\mu\xi_\nu+\nabla_\nu\xi_\mu)=\int d^4x\sqrt{-g}\ T^{\mu\nu}\nabla_\mu\xi_\nu=0,$$ wo ich die Tatsache ausgenutzt habe, dass dies $T$ist konstruktionsbedingt symmetrisch. Weil $\xi$an der Grenze verschwindet, können wir dies umschreiben als $$0=\delta S=\int d^4x\sqrt{-g}\nabla_\mu T^{\mu\nu}\xi_\nu,$$ und da $\xi$war willkürlich, wir haben $$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0.$$

Nun, um die Äquivalenz mit dem kanonischen Tensor zu motivieren. Ich werde es hier nicht beweisen, aber es kann gezeigt werden (das ist nicht trivial - im Grunde ist der Satz von Noether in der speziellen Relativitätstheorie für beliebige Koordinatentransformationen etwas mehrdeutig), dass wir in SR eine "raumzeitabhängige Übersetzung" von betrachten die Form$x^\mu\mapsto x^\mu+\xi^\mu(x)$anstatt$x^\mu+a^\mu$(mit$a$eine Konstante), wird die Transformation keine Symmetrie mehr sein , sondern die Änderung der Wirkung ist gegeben durch

$$\delta S=-\int d^4x\ T^{\mu\nu}\partial_\mu\xi_\nu,$$ wo das $T$ist der kanonische Tensor .

Dies ist keine Symmetrie, und$\delta S$verschwindet nicht, aber wenn die Bewegungsgleichungen für das Materiefeld gelten, dann verschwindet die Variation der Wirkung für beliebige Variationen, also verschwindet dieser Ausdruck immer noch. Jetzt gehen wir davon aus$T$symmetrisch ist (denken Sie daran, dass wir modifizieren können$T$in einer Weise, dass diese Beziehung immer noch wahr bleibt), dann haben wir

$$\delta S=-\int d^4x\ \frac{1}{2}T^{\mu\nu}(\partial_\mu\xi_\nu+\partial_\nu\xi_\mu).$$ Dies ist das Negativ des Ausdrucks für den Hilbert-Tensor (in der flachen Raumzeitgrenze, also $\nabla_\mu\rightarrow\partial_\mu$Und $\sqrt{-g}\rightarrow 1$).

Mal sehen, was passiert ist.

Als wir die Variation der Materieaktion in GR betrachteten, hatten wir

$$\delta S=\int d^4x\left( \frac{\delta S}{\delta\psi}\delta\psi+\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}\delta g_{\mu\nu}\right),$$ Wo $\delta S/\delta g_{\mu\nu}$gab den Ausdruck mit dem Stress-Energie-Tensor.

Als wir die Variation der Materieaktion in SR betrachteten, haben wir die Minkowski-Metrik nicht variiert$\eta_{\mu\nu}$. Immerhin war das ein "festes" Objekt. Der Grund, warum wir keine Symmetrie hatten, ist, dass wir diese Variation "vergessen" haben, also den Begriff

$$-\int d^4x\frac{1}{2} T^{\mu\nu}(\partial_\mu\xi_\nu+\partial_\nu\xi_\mu)$$ ist genau das Negativ der $\delta S/\delta g_{\mu\nu}$Begriff, was wir der Variation "hinzufügen" müssten, um Symmetrie zu erhalten.

Daher sind die beiden Spannungs-Energie-Tensoren äquivalent, zumindest im Sinne der zuvor definierten Äquivalenz.

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Edit: Mein letzter Punkt ist nicht ganz klar, also lass es mich genauer formulieren.

Die Sache Aktion$S$in der speziellen Relativitätstheorie wird als bezeichnet$S_{SR}$, und der (modifizierte) kanonische Tensor as$T^{\mu\nu}_C$. Wir haben erhalten (oder gut, ich habe gesagt, dass wir erhalten)

$$\delta S_{SR}=-\int d^4x\ \frac{1}{2}T^{\mu\nu}_C(\partial_\mu\xi_\nu+\partial_\nu\xi_\mu).$$

Betrachten wir dagegen die Metrik auch als dynamisches Feld, wird die Aktion als bezeichnet$S_{GR}$, aber ich denke über Variationen um einen flachen Hintergrund nach. Wir haben erhalten

$$\delta S_{GR}=\int d^4x\left(\frac{\delta S}{\delta \psi}\delta\psi+\frac{\delta S}{\delta \eta_{\mu\nu}}\delta\eta_{\mu\nu}\right)=\int d^4x\ \frac{\delta S}{\delta\eta_{\mu\nu}}\delta\eta_{\mu\nu}=\int d^4x\frac{1}{2}T^{\mu\nu}_H(\partial_\mu\xi_\nu+\partial_\nu\xi_\mu)=0,$$ Wo $T^{\mu\nu}_H$ist der Hilbert-Tensor.

Allerdings unterscheiden sich die beiden Variationen genau durch die metrische Variation, so haben wir

$$\delta S_{SR}=\delta S_{GR}-\int d^4x\frac{\delta S}{\delta\eta_{\mu\nu}}\delta\eta_{\mu\nu}=- \int d^4x\frac{\delta S}{\delta\eta_{\mu\nu}}\delta\eta_{\mu\nu},$$ als $\delta S_{GR}=0$, wenn Sie also die Ausdrücke hier einfügen, können Sie sehen, dass wir erhalten $$-\int d^4x\frac{1}{2}T^{\mu\nu}_C(\partial_\mu\xi+\partial_\nu\xi_\mu)=-\int d^4x\frac{1}{2}T^{\mu\nu}_H(\partial_\mu\xi+\partial_\nu\xi_\mu),$$ somit $$T_C\approxeq T_H.$$