Kopplung der Hilbert-Aktion an eine Materie-Aktion

… warum addiert man einfach die beiden Aktionen und fügt keine Kopplungsaktion hinzu?

Man fügt Kupplungswirkung hinzu. Wenn wir die partiellen Ableitungen, die bei der Materieaktion in der flachen Raumzeit in kartesischen Koordinaten vorhanden sind, durch kovariante Ableitungen ersetzen und unter Verwendung der Volumenform der gekrümmten Raumzeit integrieren (dieser Ansatz wird als minimale Kopplung bezeichnet), ist dies genau die Einführung der Kopplung .

Dies ist am einfachsten zu sehen, wenn wir die Variation der Materieaktion mit einer leichten Variation der Metrik betrachten:$g_{μν}=g^{(0)}_{μν}+δg_{μν}$, die die Form hat:

$$\delta S_\text{matter}=\frac 12 \int T^{μν} δg_{μν} \sqrt{-g}\,d^4x,$$ Wo$T_{μν}$ist der Spannungs-Energie-Tensor. Betrachten wir die Hintergrundraumzeit mit der Minkowski-Metrik$g^{(0)}_{μν}=\eta_{μν}$dann hat diese Variation der Materiewirkung die Interpretation der Kopplungswirkung für ein „Feld“$δg_{μν}$mit Materie über den „Strom“$T^{μν}$.

Auf der Ebene der Störungstheorie ist dies völlig analog zur Kopplungswirkung des Elektromagnetismus:

$$S_\text{int}= - \int j^μ A_μ \sqrt{-g}\,d^4x.$$ Aber außerhalb schwacher Gravitationsfelder müssen wir bedenken, dass GR eine nichtlineare Theorie ist und eine Trennung von Quellen und Feldern, die von ihnen erzeugt werden, im Allgemeinen nicht möglich ist.

Wenn wir in die entgegengesetzte Richtung gehen, könnten wir die Kopplungswirkung des Elektromagnetismus „verbergen“, indem wir eine kovariante Eichableitung für Felder geladener Materie einführen:

$$\partial_μ \to D_μ = \partial_μ -i e A_μ.$$ Durch Ersetzen aller Ableitungen in kinetischen Begriffen durch eichkovariante Ableitungen würde die Aktion für geladene Materie nun einen Wechselwirkungsterm enthalten.

Im Allgemeinen sollte man die Eichinvarianz der elektromagnetischen Theorie und die Diffeomorphismusinvarianz von GR nicht nur als Redundanz in der Beschreibung betrachten, sondern als eingebauten Mechanismus zur Einführung von Kopplungen zwischen Materie und EM oder Gravitationsfeldern.

Angenommen, ich möchte die Aktion für zwei wechselwirkende Ladungen in rein elektromagnetischer Theorie schreiben. Dann kann ich die an zwei Punktladungen gekoppelte Feldwirkung zusammen mit der Materiewirkung aufschreiben, die beschreibt, wie die Ladungen mit dem Feld interagieren. Um dasselbe in der allgemeinen Relativitätstheorie zu tun, müsste ich meiner Meinung nach nur eine Materieaktion hinzufügen, die der Hilbert-Aktion den richtigen Energie-Impuls-Tensor gibt, aber keinen Kopplungsterm.

In GR ist der Begriff des Punktteilchens intern widersprüchlich: Wenn wir versuchen, endliche Masse in ein ausreichend kleines Volumen zu stopfen, wird diese Masse zu einem Schwarzen Loch, während es sicherlich möglich ist, Bewegungsgleichungen für Testpunktteilchen unter Berücksichtigung der Felder zu schreiben, die sie erstellen, erfordert eine Art Annäherungsschema.

Die Erweiterung der Wirkung innerhalb der Störungstheorie wäre also genau der Teil, in dem der Spannungs-Energie-Tensor auftritt, der Kopplungsterm.