Energie-Impuls-Tensor in QFT vs. GR

Sie sollten darüber nachdenken, wie der Noetherstrom erhalten wird. Wenn eine infinitesimale Symmetrietransformation raumzeitabhängig gemacht wird, sind das die Parameter$\omega^a$die die Symmetrie steuern, werden als Funktionen des Raumzeitpunktes genommen$\omega^a=\omega^a(x)$, die Wirkung bleibt nicht länger invariant

$$\delta S=-\int d^D x\, J^{a\,\mu}(x)\partial_\mu \omega^a(x)$$ sondern liefert vielmehr die Definition des Stroms $J^{a\,\mu}$das wird auf der Schale konserviert.

Schauen wir uns nun den Fall des Energie-Impuls-Tensors an: in diesem Fall die Translationen$x^\nu\rightarrow x^\nu+\omega^\nu$werden lokal hergestellt$x^\nu\rightarrow x^\nu+\omega^\nu(x)$so dass

$$\delta S=-\int d^D x\, T_\nu^\mu(x)\,\partial_\mu \omega^\nu(x)\,.$$ Eigentlich sucht man nach einem symmetrischen Tensor $T^{\mu\nu}=T^{\nu\mu}$sodass man den obigen Ausdruck in folgende Form umschreiben kann $$\delta S=-\frac{1}{2}\int d^D x\, T^{\nu\mu}(x)\,(\partial_\mu \omega_\nu(x)+\partial_\nu\omega_\mu)\,.$$ Nun, hier ist der Haken: Wenn wir die Raumzeit-Metrik transformieren würden $g_{\mu\nu}$(gleicht $\eta_{\mu\nu}$im vorliegenden Fall) als ob $x^\nu\rightarrow x^\nu+\omega^\nu(x)$war nur eine infinitesimale Änderung der Koordinaten, das heißt $$g_{\mu\nu}\rightarrow g_{\mu\nu}-(\partial_\mu \omega_\nu(x)+\partial_\nu\omega_\mu)\,,$$ dann die Aktion (koordinatenunabhängig gemacht durch Einbeziehung der Metrik auf die übliche Weise wie z $d^D x\rightarrow d^D x \sqrt{|g|}\,,\ldots$) würde invariant bleiben $$\delta S=-\frac{1}{2}\int d^D x\, (\partial_\mu \omega_\nu(x)+\partial_\nu\omega_\mu)\left. \left(\sqrt{|g|}\,T^{\mu\nu}(x)+2\frac{\delta S(x)}{\delta g_{\mu\nu}}\right)\right|_{g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}}=0\,.$$ Aus dieser Gleichung folgt, dass der mit Raumzeitverschiebungen verbundene Strom geschrieben werden kann als $$T^{\mu\nu}=\left. -\frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}\right|_{g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}} \qquad \mbox{evaluated on the bkg }g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}\,.$$ Es sollte offensichtlich sein, dass diese Definition einen symmetrischen Energie-Impuls-Tensor ergibt, der mit dem übereinstimmt, der in den Einstein-Gleichungen erscheint. Aus der obigen Herleitung sollte auch klar sein, dass die alternativen Versionen von $T_{\mu\nu}$entstehen, weil die Definition von $T^{\mu\nu}$über die Variation der Wirkung, wenn die Translation raumzeitabhängig gemacht wird, wird sie nicht eindeutig festgelegt. Zum Beispiel bei einem gültigen $T_{\mu\nu}$, man kann immer einen anderen definieren $T^{\mu\nu}\rightarrow T^{\mu\nu}_B=T^{\mu\nu}+\partial_\rho B^{\rho\mu\nu}$mit einem willkürlichen $B^{\rho\mu\nu}=-B^{\mu\rho\sigma}$was auch gibt $$\delta S=-\int d^D x\, T^{\mu\nu}(x)\partial_\mu\omega_\nu(x)=-\int d^D x\, T_B^{\mu\nu}(x)\partial_\mu\omega_\nu(x)$$ bis hin zu einer partiellen Integration. Einsteins Gleichungen brechen diese Entartung und identifizieren „den“ Energie-Impuls-Tensor.

Gegeben sei eine allgemeine kovariante Materiewirkung

$$S~=~ \int \! d^4x~ {\cal L}, \qquad {\cal L}~=~e L, \qquad L~=~L(\Phi,\nabla_a\Phi). \tag{1}$$

Die Hauptstrategie wird darin bestehen, zu fordern, dass die Materiefelder vorhanden sind$\Phi^A$tragen eher flache als gebogene Indizes$^1$. Dies wird mit Hilfe eines Vielbeins erreicht $e^a{}_{\mu}$, wo

$$g_{\mu\nu}~=~e^a{}_{\mu} ~\eta_{ab}~e^b{}_{\nu}, \qquad e^a{}_{\mu}~ E^{\mu}{}_b~=~\delta^a_b, \qquad E^{\mu}{}_a~e^a{}_{\nu}~=~\delta^{\mu}_{\nu}, \tag{2}$$

$$e~:=~\det(e^a{}_{\mu})~=~\sqrt{|g|}, \tag{3}$$

und eine Drehverbindung $\omega_{\mu}{}^a{}_b$kompatibel mit den Levi-Civita Christoffel-Symbolen $\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}$,

$$0~=~(\nabla_{\mu}e)^{a}{}_{\nu}~=~\partial_{\mu}e^{a}{}_{\nu} +\omega_{\mu}{}^a{}_b ~e^b{}_{\nu}- e^a{}_{\lambda}~\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}.\tag{4}$$

Mit anderen Worten, die Spin-Verbindung$\omega_{\mu}{}^a{}_b$ist eindeutig gegeben durch

$$2\omega_{\mu, ab}~=~2\left(-\partial_{\mu}e_{a\nu} +e_{a\lambda}~\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}\right)E^{\nu}{}_b ~=~-\left(\partial_{\mu}e_{a\nu} +\partial_a g_{\mu\nu}\right)E^{\nu}{}_b -(a\leftrightarrow b)$$ $$~=~-\partial_{\mu}e_{a\nu}~E^{\nu}{}_b-\partial_a e_{b\mu} + g_{\mu\nu}~\partial_a E^{\nu}{}_b -(a\leftrightarrow b),\tag{5}$$

$$2\omega_{c, ab}~:=~2E^{\mu}{}_c~\omega_{\mu, ab} ~=~-f_{cab}-f_{abc}-f_{acb}-(a\leftrightarrow b), \tag{6}$$

$$f_{abc}~:=~\partial_a e_{b\nu}~E^{\nu}{}_c . \tag{7}$$

Die kovariante Ableitung der Materiefelder hat die Form

$$(\nabla_{\mu}-\partial_{\mu})\Phi^A ~=~ \omega_{\mu}{}^{a}{}_{b} ~(\Delta_a{}^b)^A{}_B~\Phi^B.\tag{8}$$

Aufgrund der Antisymmetrie der Spinverbindung$\omega_{c, ab}=-\omega_{c, ba}$, ist es immer möglich, die kovariante Ableitung der Materiefelder zu schreiben als

$$(\nabla_c-\partial_c)\Phi^A ~:=~ E^{\mu}{}_c ~(\nabla_{\mu}-\partial_{\mu})\Phi^A ~=~ \frac{1}{2}\omega_{c,ab} ~(\Sigma^{ab}\Phi)^A,\tag{9}$$ $$(\Sigma^{ab}\Phi)^A~:=~(\Sigma^{ab})^A{}_B~\Phi^B \tag{10}$$

wo$(\Sigma^{ab})^A{}_B$ist eine Darstellung der$so(3,1)$Lorentz-Lie-Algebra

$$[\Sigma^{ab},\Sigma^{cd}] ~=~ \left(\eta^{bc} \Sigma^{ad} - (a \leftrightarrow b)\right) -(c\leftrightarrow d), \qquad \Sigma^{ab}~=~-\Sigma^{ba}.\tag{11}$$

II) Die kovarianten Euler-Lagrange-Gleichungen für die Materiefelder$\Phi^A$lesen

$$0~\stackrel{m}{\approx}~\frac{\delta S}{\delta \Phi^A} ~=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \Phi^A} -{\cal P}^{\mu}_A \stackrel{\leftarrow}{\nabla_{\mu}} , \qquad {\cal P}^{\mu}_A \stackrel{\leftarrow}{\nabla_{\mu}} ~:=~{\cal P}^{\mu}_A \stackrel{\leftarrow}{\partial_{\mu}} -{\cal P}^{\mu}_B~\omega_{\mu,ab}~(\Sigma^{ab})^B{}_A,\qquad \tag{12}$$

wo die Lagrange-Impulse sind

$${\cal P}^{\mu}_A ~:=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial (\partial_{\mu}\Phi)^A} ~=~E^{\mu}{}_a ~{\cal P}^a_A,\qquad {\cal P}^a_A~:=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial (\nabla_a\Phi)^A}. \tag{13}$$

[Hier die$\stackrel{m}{\approx}$Symbol bedeutet Gleichheit modulo matter eoms.]

III) Die Tensordichte der Belinfante-Verbesserung ist definiert als

$$2{\cal B}^{\lambda\mu,\nu} ~:=~{\cal H}^{\lambda,\mu\nu}-{\cal H}^{\mu,\lambda\nu}-{\cal H}^{\nu,\lambda\mu}~=~-(\lambda \leftrightarrow \mu),\tag{14}$$

oder umgekehrt

$${\cal H}^{\lambda,\mu\nu}~=~{\cal B}^{\lambda\mu,\nu}-{\cal B}^{\lambda\nu,\mu}~=~-(\mu \leftrightarrow \nu),\tag{15}$$

wo

$${\cal H}^{\lambda,\mu\nu}~:=~{\cal H}^{\lambda,ab}~E^{\mu}{}_a~E^{\nu}{}_b\qquad {\cal H}^{\lambda,ab}~:=~{\cal P}^{\lambda}_A~(\Sigma^{ab}\Phi)^A. \tag{16}$$

IV) Die Variation der Materieaktion$S$wrt. zu den vielbeinerträgen

$$\delta S ~=~\int \! d^4x\left[L~\delta e +e\frac{\partial L}{\partial(\nabla_c\Phi)^A}~ \delta (\nabla_c\Phi)^A\right] ~=~\int \! d^4x\left[L~\delta e +{\cal P}^c_A~\delta (\nabla_c\Phi)^A\right] ,\qquad \tag{17}$$

oder,

$$\delta S -\int \! d^4x\left[L~\delta e + {\cal P}^c_A~\delta E^{\mu}{}_c~ \partial_{\mu}\Phi^A\right] ~\stackrel{(17)}{=}~ \frac{1}{2}\int \! d^4x~{\cal P}^c_A~\delta \omega_{c,ab}~(\Sigma^{ab}\Phi)^A$$ $$~\stackrel{(16)}{=}~ \frac{1}{2}\int \! d^4x~{\cal H}^{c,ab}~ \delta \omega_{c,ab} ~\stackrel{(6)+(14)}{=}~\int \! d^4x~{\cal B}^{cb,a}~ \delta f_{cab}$$ $$~=~\int \! d^4x~{\cal B}^{cb}{}_a~ \delta f_c{}^a{}_b ~\stackrel{(7)}{=}~\int \! d^4x~{\cal B}^{\lambda b}{}_a\left[ \partial_{\lambda} e^a{}_{\nu}~\delta E^{\nu}{}_b +\partial_{\lambda} \delta e^a{}_{\nu}~ E^{\nu}{}_b \right].\tag{18}$$

V) Die grundlegende Hilbert-SEM-Tensordichte$^2$ist definiert als

$${\cal T}^{\mu\nu}~:=~-2\frac{\delta S_m}{\delta g_{\mu\nu}}, \qquad\qquad(\leftarrow\text{Not applicable!})\tag{19}$$

aber diese Formel (19) ist zB auf fermionische Materie in einer gekrümmten Raumzeit nicht anwendbar. Stattdessen wird die verallgemeinerte Hilbert-SEM-Tensordichte definiert als

$${\cal T}^{\mu}{}_{\nu} ~:=~-\frac{\delta S}{\delta e^a{}_{\mu}}e^a{}_{\nu} ~=~E^{\mu}{}_a\frac{\delta S}{\delta E^{\nu}{}_a} ~\stackrel{(18)}{=}~\Theta^{\mu}{}_{\nu}+d_{\lambda}{\cal B}^{\lambda\mu}{}_{\nu}, \tag{20}$$

wo$\Theta^{\mu}{}_{\nu}$ist die kanonische SEM-Tensordichte

$$\Theta^{\mu}{}_{\nu} ~:=~ {\cal P}^{\mu}_A~\partial_{\nu}\Phi^A- \delta^{\mu}_{\nu}{\cal L}.\tag{21}$$

Der letzte Ausdruck in Gl. (20) ist die Antwort auf die Frage von OP nach dem Unterschied zwischen der Hilbert-SEM-Tensordichte (20) und der kanonischen SEM-Tensordichte (21). Sie ist durch die Belinfante-Verbesserungstensordichte (14) gegeben.

IV) Die Hilbert-SEM-Tensordichte (20) ist schalensymmetrisch

$${\cal T}^{\mu\nu}~\stackrel{m}{\approx}~{\cal T}^{\nu\mu}, \tag{22}$$

vgl. zB meine Phys.SE-Antwort hier , die auch die Verbindung zu Noethers Theoremen erklärt.

Gl. (15), (20) und (22) implizieren, dass der antisymmetrische Teil der kanonischen SEM-Tensordichte (21) ist

$$\Theta^{\mu\nu}-\Theta^{\nu\mu} ~\stackrel{m}{\approx}~d_{\lambda}{\cal H}^{\lambda,\nu\mu}.\tag{23}$$

Verweise:

1. MJ Gotay & JE Marsden, Stress-Energy-Momentum Tensors and the Belinfante-Rosenfeld Formula , Contemp. Mathematik. 132 (1992) 367 .

2. M. Forger & H. Römer, Ströme und der Energie-Impuls-Tensor in der klassischen Feldtheorie: Ein neuer Blick auf ein altes Problem, Annals Phys. 309 (2004) 306, arXiv:hep-th/0307199 .

3. LB Szabados, Quasilokaler Energieimpuls und Winkelimpuls in der Allgemeinen Relativitätstheorie, Liv. Rev. Rel. 12 (2009) 4 ; Abschnitt 2.1.1 p. 11.

4. A. Bandyopadhyay, Improvement of the Stress-Energy Tensor using Spacetime symmetries , Dissertation (2001); Kapitel 2 & 3.

(Huttipp für Ref. 1 & 2: David Bar Moshe . Huttipp für Ref. 3 & 4: Konstantin Konstantinov .)

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$^1$Konventionen: In dieser Antwort werden wir verwenden$(+,-,-,-)$Minkowski-Zeichenkonvention. Griechische Indizes$\mu,\nu,\lambda, \ldots,$sind sogenannte gekrümmte Indizes, während römische Indizes$a,b,c, \ldots,$sind sogenannte Flat- Indizes. Große römische Indizes$A,B,C, \ldots,$bezeichnen mehrere flache oder spinoriale Indizes.

$^2$Eine Tensordichte ${\cal T}^{\mu\nu}=e T^{\mu\nu}$ist in diesem Zusammenhang nur ein Tensor$T^{\mu\nu}$multipliziert mit der Dichte$e$.