S-Dualität der Einstein-Maxwell-Dilaton-Theorie

Question

S-Dualität der Einstein-Maxwell-Dilaton-Theorie

Newt

Betrachten Sie Theorie mit Aktion

S = \int D^{D} X \sqrt{- G} (R - \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ - \frac{1}{2 k!} e^{A ϕ} F_{[k]}^{2})

$S = \int d^D x \sqrt{-g} (R - \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2k!} e^{a \phi} F^2 _{[k]} )$

Wo $\phi$ ist Dilaton und $F_{[k]}$ ist elektromagnetisch $k$ -form.

S-Dualität ist die Symmetrie dieser Aktion

G_{μ v} \to G_{μ v}, F \to e^{- A ϕ} ⋆ F, ϕ \to - ϕ

$g_{\mu \nu} \to g_{\mu \nu} \ , \ \ F \to e^{- a \phi} \star F \ , \ \ \phi \to - \phi$

Ich kann nicht verstehen, warum wir diese Transformation verwenden müssen, um beispielsweise eine magnetische Lösung zu erhalten, wenn eine elektrische bereits bekannt ist. Warum können wir nicht nur verwenden $F \to \star F \ , \ \ \phi \to \phi$ Transformation?

Darüber hinaus sind die Bewegungsgleichungen für magnetische Lösung

\partial_{μ} (\sqrt{- G} e^{A ϕ} F^{μ a_{2} . . . a_{k}}) = 0

$\partial _\mu (\sqrt{-g} e^{a \phi} F^ {\mu \alpha_2 ... \alpha_k } ) = 0$ Und es wird behauptet, dass die magnetische Lösung dieser Gleichung (für diagonal radialsymmetrische Metrik) ist

F_{[k]} = \frac{P}{R^{D - 2}} D θ_{1} \land . . . \land D θ_{k}

$F_{[k]} = \frac{P}{R^{D-2}} d\theta_1 \wedge ... \wedge d\theta_k$

Aber ich kann nicht verstehen, warum es nicht auf dilaton via ankommt $e^{- a \phi}$ wie elektrische Lösung tut.

ACuriousMind

Was ist hier Ihre Definition von „magnetischer“ und „elektrischer“ Lösung? Wenn Ihre Definition von "magnetischer Lösung" nur diese Bewegungsgleichung dort löst, was ist dann Ihre Frage in "Ich kann nicht verstehen, warum es nicht von Dilaton abhängt"? Entweder dein Ding dort löst die Gleichung oder nicht.

Newt

Nun, so wie ich es verstehe, ist die magnetische Lösung die Lösung der Bewegungsgleichung. Hier müssen wir eine duale Gleichung nehmen. Ich verstehe nicht, warum "dual" hier nicht nur Hodge-Stern bedeutet, sondern auch multiplizieren mit

e^{- a ϕ}

$e^{-a \phi}$ .

Antworten (1)

S-Dualität der Einstein-Maxwell-Dilaton-Theorie

Was ist hier Ihre Definition von „magnetischer“ und „elektrischer“ Lösung? Wenn Ihre Definition von "magnetischer Lösung" nur diese Bewegungsgleichung dort löst, was ist dann Ihre Frage in "Ich kann nicht verstehen, warum es nicht von Dilaton abhängt"? Entweder dein Ding dort löst die Gleichung oder nicht.
Nun, so wie ich es verstehe, ist die magnetische Lösung die Lösung der Bewegungsgleichung. Hier müssen wir eine duale Gleichung nehmen. Ich verstehe nicht, warum "dual" hier nicht nur Hodge-Stern bedeutet, sondern auch multiplizieren mit $e^{-a \phi}$ .

psm · Answer 1

Im Moment habe ich keine Zeit, weitere Details aufzunehmen, aber vielleicht hilft das Folgende bereits:

Hodge-Dualisation in der Handlung ist tatsächlich eine subtile Angelegenheit. Beachten Sie, dass Sie nicht einfach einstecken können $F= \star G$ (Wo $G$ ist jetzt mein dualer Feldstärketensor). Stattdessen müssen Sie der Aktion eine Einschränkung auferlegen, um sicherzustellen, dass die Bianchi-Identität von $F$ , nämlich $dF=0$ , gilt. Sie sollten also einen Lagrange-Multiplikator-Term wie von Hand hinzufügen $\chi \wedge dF$ , Wo $\chi$ ist ein $(D-k-1)$ -form und es wird sich herausstellen $\chi$ ist das zweispurige Feld, so dass $G \sim d\chi$ . In diesem Verfahren kann man zeigen, dass sich die Kopplungen umkehren, also starke Kopplungen zu schwachen Kopplungen werden und umgekehrt. Deshalb heißt es S-Dualität. Was Sie nach der Dualisierung finden sollten, wäre $e^{-a\phi}G \wedge \star G$ und Sie können das Minuszeichen rückgängig machen $\phi \to - \phi$ .

Die letzte Gleichung folgt aus der Bianchi-Identität $dF=0$ zusammen mit der Rotationssymmetrie des Raums. Es tritt also kein dilatonischer Vorfaktor auf.

psm

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Newt

ACuriousMind

Newt

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psm

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