Yang-Mills gegen Einstein-Hilbert-Aktion

Question

Yang-Mills gegen Einstein-Hilbert-Aktion

Bob Knighton

Die klassische Yang-Mills-Action ist von der Form

S = \frac{1}{2 g^{2}} \int_{M} tr [F \land ⋆ F] = \frac{1}{4 g^{2}} \int d^{d} x \sqrt{g} tr [F^{μ v} F_{μ v}],

$S=\frac{1}{2g^2}\int_{\mathcal{M}}\text{tr}\left[F\wedge\star F\right]\\ =\frac{1}{4g^2}\int\mathrm{d}^dx\sqrt{g}\,\text{tr}\left[F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}\right],$

wo $F=dA+A\wedge A$ ist die Yang-Mühlen-Feldstärke $2$ -Form und $g$ ist eine Kopplungskonstante, die in der klassischen Beschreibung irrelevant ist.

Nun nimmt die klassische Einstein-Hilbert-Aktion Gestalt an

S = \frac{1}{2 κ} \int_{M} ⋆ R = \frac{1}{2 κ} \int d^{d} x \sqrt{g} R,

$S=\frac{1}{2\kappa}\int_{\mathcal{M}}\star\mathcal{R}=\frac{1}{2\kappa}\int\mathrm{d}^dx\sqrt{g}\,\mathcal{R},$

wo $\mathcal{R}=\text{tr}_g(\text{tr}(R))=R^{\mu\nu}_{\,\,\,\,\mu\nu}$ ist die Ricci-Skalarkrümmung der Mannigfaltigkeit und $R$ stellt den Riemann-Krümmungstensor dar, und $\kappa=8\pi G$ ist wieder eine Kopplungskonstante.

Meine Frage lautet: Warum ist die Einstein-Hilbert-Aktion im Krümmungstensor linear, während die Yang-Mills-Aktion im Eichfeld-Krümmungstensor quadratisch ist? Beide Theorien müssen unter einem bestimmten Satz von Transformationen unveränderlich sein (Gauge-Transformationen für Yang-Mills und Diffeomorphismen für die Einstein-Schwerkraft), daher sollten ihre Aktionen anscheinend eine ähnliche Form haben (ich weiß, dass die Schwerkraft nicht genau das Messgerät ist). Theorie der Diffeomorphismen, aber das erscheint mir immer noch seltsam). Gibt es zum Beispiel einen a priori Grund, warum wir nicht aufschreiben?

S = \frac{1}{2 κ^{'}} \int tr [R \land ⋆ R] = \frac{1}{4 κ^{'}} \int d^{d} x \sqrt{g} g^{a μ} g^{β v} R_{a σ β}^{ρ} R_{μ ρ v}^{σ}

$S=\frac{1}{2\kappa'}\int\text{tr}\left[R\wedge\star R\right]=\frac{1}{4\kappa'}\int\mathrm{d}^dx\sqrt{g}\,g^{\alpha\mu}g^{\beta\nu}R^{\rho}_{\,\,\alpha\sigma\beta}R^{\sigma}_{\,\,\mu\rho\nu}$

anstelle des offensichtlichen Grundes, dass es die Einstein-Gleichungen nicht gibt?

Jeder Einblick in dies wäre ausgezeichnet. Vielen Dank!

Hinweis: Diese Frage ist im Wesentlichen der letzte Teil von Is GR the Gauge Theory of Diffeomorphisms? Warum ist die EH-Aktion in der Krümmung linear? . Diese Frage wurde jedoch nie beantwortet und geschlossen, da die ersten Teile im Wesentlichen Duplikate waren.

Prof. Legolasov

1. Diffeomorphismen und Eichtransformationen sind sehr unterschiedlicher Natur (obwohl es natürlich einige Ähnlichkeiten gibt). 2. Ich verstehe Ihre Frage nicht, warum erwarten Sie, dass sie in der Krümmung dieselbe Größenordnung haben? Gravitations- und Messgerät-Wechselwirkungen sind unterschiedlich. 3. Beachten Sie, dass der Hodge-Stern in der Yang-Mills-Theorie extern ist, während er in der Schwerkraft auch vom dynamischen Feld abhängt

g_{μ ν}

$g_{\mu \nu}$ . Daher ähnelt auch Ihre Aktion nicht vollständig der Aktion von Yang-Mills.

Parker

Siehe auch : physical.stackexchange.com/a/340466/92058 . Weinberg sagt: "Die Analogie bricht in einer wichtigen Hinsicht zusammen: In der allgemeinen Relativitätstheorie wird die affine Verbindung selbst aus ersten Ableitungen des metrischen Tensors konstruiert, während in Eichtheorien die Eichfelder nicht in Form von fundamentaleren Feldern ausgedrückt werden ..." . Übrigens, welche Bewegungsgleichungen erhalten Sie von Ihrem vorgeschlagenen Lagrange-Operator

R^{2}

$R^2$ anstatt

R

$R$ ?

R. Rankin

An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass der Ricci-Tensor symmetrisch ist und im Prinzip durch eine Variation der Cholesky-Zerlegung als Produkt zweier antisymmetrischer Matrizen zerlegt werden kann. Dann ähnelt das Verfolgen eines der beiden auf einen Lagrange-Skalar eher dem, was Sie suchen

Antworten (2)

Yang-Mills gegen Einstein-Hilbert-Aktion

1. Diffeomorphismen und Eichtransformationen sind sehr unterschiedlicher Natur (obwohl es natürlich einige Ähnlichkeiten gibt). 2. Ich verstehe Ihre Frage nicht, warum erwarten Sie, dass sie in der Krümmung dieselbe Größenordnung haben? Gravitations- und Messgerät-Wechselwirkungen sind unterschiedlich. 3. Beachten Sie, dass der Hodge-Stern in der Yang-Mills-Theorie extern ist, während er in der Schwerkraft auch vom dynamischen Feld abhängt $g_{\mu \nu}$ . Daher ähnelt auch Ihre Aktion nicht vollständig der Aktion von Yang-Mills.
Siehe auch : physical.stackexchange.com/a/340466/92058 . Weinberg sagt: "Die Analogie bricht in einer wichtigen Hinsicht zusammen: In der allgemeinen Relativitätstheorie wird die affine Verbindung selbst aus ersten Ableitungen des metrischen Tensors konstruiert, während in Eichtheorien die Eichfelder nicht in Form von fundamentaleren Feldern ausgedrückt werden ..." . Übrigens, welche Bewegungsgleichungen erhalten Sie von Ihrem vorgeschlagenen Lagrange-Operator $R^2$ anstatt $R$ ?
An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass der Ricci-Tensor symmetrisch ist und im Prinzip durch eine Variation der Cholesky-Zerlegung als Produkt zweier antisymmetrischer Matrizen zerlegt werden kann. Dann ähnelt das Verfolgen eines der beiden auf einen Lagrange-Skalar eher dem, was Sie suchen

Bence Racskó · Answer 1

Bei Yang-Mills spielt der Eichanschluss die Rolle eines Potentials und die Krümmungsform die Rolle einer „Feldstärke“.

In GR spielt der metrische Tensor die Rolle eines Potentials und die Verbindung die Rolle einer Feldstärke.

Deshalb ist insbesondere die Gravitationskraft keine reale Kraft, da der Zusammenhang nicht eichenkovariant ist. Natürlich sagen wir, dass es irgendwo Schwerkraft ungleich Null gibt, wenn die Krümmung dort ungleich Null ist, aber das liegt daran, dass der Krümmungstensor die Trivialisierung des Zusammenhangs behindert.

Außerdem sollten Sie sich mit Ostrogradskij-instability befassen . Da in YM die Eichverbindung das Potential und die Krümmung die Feldstärke ist, wird ein Lagrangian, der eine beliebige Funktion der Feldstärke enthält, höchstens Feldgleichungen zweiter Ordnung erzeugen.

Aber für die Schwerkraft enthält der Krümmungstensor zweite Ableitungen der Metrik. Wenn Sie also die Form des Krümmungsausdrucks nicht einschränken, tritt die Ostrogradskij-Instabilität ein. Ein Lagrangian, der in den zweiten metrischen Ableitungen linear ist, vermeidet dieses Problem.

Verrückter Max · Answer 2

Sie werfen eine berechtigte Frage auf, da aus Sicht der effektiven Feldtheorie alle symmetrieerlaubenden Aktionsterme enthalten sein sollten.

Es gibt jedoch einen Haken, wenn es um eine Aktion geht, die linear in der Yang-Mills-Krümmung ist $F$ : Sie können die Lorentz-Indizes von Antisymmetrie unmöglich kontrahieren $F$ mit symmetrischer Metrik $g$ .

Für spezielle einheitsgruppenbezogene YM-Felder gibt es ein weiteres Hindernis: $Tr\langle F\rangle$ ist identisch Null, da spezielle Einheitsgruppen spurlos sind, während die YM-Aktion (mit zwei Fs) das genannte Problem nicht erfährt.

Die von dir erwähnte Aktion mit zwei Riemannschen Krümmungen $R$ Tensoren ist durchaus erlaubt, nur dass dieser Term bei niedrigen Energien stark unterdrückt wird, so dass er unter normalen Umständen nicht relevant ist. Beachten Sie, dass diese hochrangig sind $R$ Begriffe spielen im embryonalen Stadium unseres Universums eine wichtige Rolle, die für die vorherrschenden kosmologischen Modelle normalerweise übersehen wird.

Yang-Mills gegen Einstein-Hilbert-Aktion

Bob Knighton

Prof. Legolasov

Parker

R. Rankin

Antworten (2)

Bence Racskó

Verrückter Max

Gravitation als Eichtheorie

Warum ist die Einstein-Aktion nicht die Yang-Mills-Aktion für die Eichtheorie der Poincaré-Algebra?

Raumzeitgeometrie um zwei Schwarze Löcher

Können sich Massen in 2+1 Schwerkraft bewegen?

Freiheitsgrade des Gravitons versus klassische Freiheitsgrade

Das Ersetzen der kovarianten Ableitung U (1) U (1) U (1) durch die kovariante Ableitung GL (4, R) GL (4, R) GL (4, \ mathbb {R}) ... gibt es die Quantengravitation?

Einstein-Yang-Mills-Verbindungen

Minimale vs. nicht minimale Kopplung in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Wie würde man erwarten, dass sich ein massives Graviton verhält?

Was ist der natürlichste Weg, um die Schwerkraft zu erreichen, als die Messung der Lorentz-Gruppe?