Einstein-Yang-Mills-Verbindungen

Ich spiele gerade mit der Kupplung eines Klassikers herum S U ( 2 ) Yang-Mills-Theorie zu Einsteins Gleichungen.

Unter der Annahme einer sphärischen Symmetrie, die S U ( 2 ) Verbindung kann geschrieben werden

(1) A = ω ( R ) τ 1 D θ + ω ( R ) Sünde ⁡ θ τ 2 D θ + cos ⁡ θ τ 3 D ϕ ,
bei dem die τ ich sind die Erzeuger der S u ( 2 ) Algebra.

Eine statische kugelsymmetrische Metrik hat die Form

(2) D S 2 = − T − 2 ( R ) D T 2 + B − 1 ( R ) D R 2 + R 2 D θ 2 + R 2 Sünde 2 ⁡ θ D ϕ 2 .

Die Yang-Mills-Gleichungen sind

(3) D ⋆ F = 0 ,
zusammen mit der Bianchi-Identität
(4) D F = 0.

Deutlich, D enthält die übliche kovariante Außenableitung der Eichung

(5) D F = D F + [ A ∧ F ]
in Bezug auf die S U ( 2 ) Verbindung.

Hier stellt sich meine Frage: Da das Yang-Mills-Feld in gekrümmter Raumzeit lebt, sollte die kovariante äußere Ableitung der Eichweite nicht zusätzliche Terme enthalten, die die übliche kovariante Ableitung von beschreiben F in Bezug auf die Levi-Civita-Verbindung auf der Raumzeit-Mannigfaltigkeit?

Eine Eichtheorie ist ein Hauptbündel über einem glatten Verteiler, insbesondere hängt sie nicht von der Riemannschen Struktur (Verbindung, Metrik usw.) auf dem Basisverteiler ab, daher ändert keine Raumzeitkrümmung die Verbindung oder kovariante Ableitung in Ihrem Eichtheorie.
Sie können auch feststellen, dass die kovariante Ableitung im Allgemeinen vollständig durch die Hauptbündelverbindung festgelegt ist.
Ungeachtet des obigen Ja wird eine Kopplung an einen Hintergrund in Ihrem Lagrangian eine Abhängigkeit von der Riemannschen Metrik in den dynamischen Teil der Yang-Mühlen-Gleichungen einführen, nämlich die erste Yang-Mühlen-Gleichung wird wahrscheinlich nicht mehr so ​​aussehen. Die kovariante Ableitung ändert sich jedoch nicht.
@bechira Ich denke, der Unterschied wird sein, dass die kovariante Ableitung der Spurweite dann zusätzlich zur Hauptbündelverbindung einen Spinverbindungsterm enthält.
@bechira Danke für deine Kommentare. Ich habe meine Frage etwas schlecht formuliert, als ich von der Notwendigkeit sprach, die kovariante Ableitung der Eichung zu modifizieren. Offensichtlich beeinflusst die Struktur des Basisverteilers nicht die kovariante Eichableitung auf dem Bündel über diesem Verteiler. Ich stimme zu, dass die Yang-Mills-Feldgleichungen modifiziert werden. Ich werde daran arbeiten, sie aus dem Lagrange abzuleiten.

Antworten (2)

OP erwägt die Yang-Mills-Theorie über einen gekrümmten Basisraum ( M , G ) . Wenn die Basisraumverbindung die Levi-Civita-Verbindung ist ∇ L C = ∂ + Γ , dann spielt es keine Rolle, ob man die eichkovariante Ableitung verwendet D = ∂ + A oder die vollständige kovariante Ableitung ∇ = D + Γ seit den Christoffel-Symbolen Γ fällt aus der Yang-Mills-Theorie und den Gleichungen von OP heraus. (3), (4) und (5). Dies liegt vor allem an der Torsionsfreiheit der Levi-Civita-Verbindung ∇ L C .

Die Levi-Civita-Verbindung tritt nur auf, wenn eine gewisse Menge unter lokalen Lorentz-Transformationen kovariant ist. Aber wenn alles unter lokalen Lorentz-Transformationen invariant ist , ist die Levi-Civita-Verbindung irrelevant. Die metrischen und YM-Felder (die in der Yang-Mills-Theorie in der gekrümmten Raumzeit von Bedeutung sind) sind invariant, während die Riemann-Krümmung kovariant ist (was in der allgemeinen Relativitätstheorie von Bedeutung ist). Aus diesem Grund entfällt das Christoffel-Symbol aus der Yang-Mills-Theorie und den Gleichungen von OP. (3), (4) und (5). Diese Tatsache hat nichts mit dem Torsionsfreiheitszustand der Levi-Civita-Verbindung zu tun, wie die andere Antwort andeutet . Dies gilt auch unter Torsionszuständen ungleich Null.

Eine Randnotiz: Die Bianchi-Identität ist unabhängig von der flachen oder gekrümmten Raumzeit gleich, da die Metrik nicht in der Bianchi-Identität auftaucht. Auf der anderen Seite das Hodge-Dual ⋆ in der Yang-Mills-Gleichung ist metrisch abhängig.

Einstein-Yang-Mills-Verbindungen
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v