Was ist die physikalische Interpretation von harmonischen Koordinaten?

Die bekannte Eigenschaft der harmonischen Koordinaten ist, dass die kovariante Divergenz eines Vektorfeldes und die d'Alambertsche Divergenz eines Skalarfeldes eine besonders einfache Form annehmen:

$$D_{\mu}A^{\mu} \rightarrow g^{\mu\nu}\partial_{\mu}A_{\nu},\\ g^{\mu\nu}D_{\nu}D_{\mu}\phi \rightarrow g^{\mu\nu}\partial_{\mu} \partial_{\nu}\phi.$$ Der harmonische Zustand $$\partial_{\mu}\left( \sqrt{-g}g^{\mu\nu}\right) =0\qquad\qquad\left( 1\right)$$ wird häufig verwendet, um das sogenannte de Donder-Eichgerät zur Quantisierung eines schwachen Gravitationsfeldes zu konstruieren. Nutzt man die Abweichung $\psi^{\mu\nu}$der kontravarianten metrischen Dichte von der flachen $\eta^{\mu\nu}=diag\left( 1,-1,-1,-1\right)$als Feldvariable: $$\sqrt{-g}g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}+\psi^{\mu\nu},$$ dann der Messzustand $\partial_{\mu}\psi^{\mu\nu}=0$sieht der bekannten Lorentz-Bedingung (Feynman-Eichung) sehr ähnlich $\partial_{\mu}A^{\mu}=0$. Wenn man die Abweichung des kovarianten Metriktensors als Feldvariable verwenden möchte $$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu},\qquad\left( 2\right)$$ dann nimmt die schwache Feldentwicklung der Bedingung (1) die Form an: $$\partial_{\mu}\left( h^{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}h_{\alpha}^{\alpha }\right) =0.$$

Die Schwachfeldentwicklung der Einstein-Hilbert-Wirkung bzgl$h_{\mu\nu}$-Feld (2) hat die Form:

$$S =\frac{1}{16\pi G_{N}}\int\mathrm{d}^{4}x\,\sqrt{-g}\,R\\ =\frac{1}{2\kappa^{2}}\int\mathrm{d}^{4}x\,\left[ \,\partial_{\alpha} h_{\mu\nu}\partial^{\alpha}h^{\mu\nu}-\,\partial_{\alpha}h\,\partial^{\alpha }h-2\,\partial_{\mu}h^{\mu\nu}\left( \partial_{\alpha}h_{\nu}^{\alpha }-\partial_{\nu}h\right) +O\!\left( h^{3}\right) \right] ,$$ Wo $\kappa=\sqrt{32\pi G_{N}}$. Das Messgerät kann durch Hinzufügen des Begriffs festgelegt werden: $$\frac{1}{\kappa^{2}}\int\mathrm{d}^{4}x\left( \partial_{\alpha}h_{\mu }^{\alpha}-\frac{1}{2}\partial_{\mu}h\right) \left( \partial_{\beta} h^{\beta\mu}-\frac{1}{2}\partial^{\mu}h\right) ,$$ somit nimmt die Aktion eine besonders einfache Form an: $$S=\frac{1}{2\kappa^{2}}\int\mathrm{d}^{4}x\,\left[ \,\partial_{\alpha} h_{\mu\nu}\partial^{\alpha}h^{\mu\nu}-\,\frac{1}{2}\partial_{\alpha }h\,\partial^{\alpha}h+O\!\left( h^{3}\right) \right] .$$ Daher hat der Gravitonpropagator in der De-Donder-Eichung eine sehr einfache Form: $$D_{\mu\nu,\alpha\beta}=\left\langle 0\left\vert T\,h_{\mu\nu}\left( x\right) h_{\alpha\beta}\left( y\right) \right\vert 0\right\rangle =i\kappa^{2} \int\frac{\mathrm{d}^{4}p}{\left( 2\pi\right) ^{4}}\frac{e^{-ip\cdot\left( x-y\right) }}{p^{2}+i0}\times\frac{1}{2}\left( \eta_{\mu\alpha}\eta_{\nu\beta }+\eta_{\mu\beta}\eta_{\nu\alpha}-\eta_{\mu\nu}\eta_{\alpha\beta}\right) .$$ Die de Donder-Eichung ist sozusagen das GR-Analogon der Feynman-Eichung für QCD oder QED.

Unter Verwendung der Eichbedingung (1) und Eckpunkten, die aus der Schwachfeldentwicklung der Einstein-Hilbert-Aktion extrahiert wurden, und unter Verwendung der QFT-Störungstheorie in Bezug auf$h_{\mu\nu}$, findet man beispielsweise das Gravitationsfeld einer statischen spinlosen Quelle. Das Ergebnis wird nicht mehr als die sein$r_{g}/r$-Erweiterung der Schwarzschild-Metrik in die harmonischen Koordinaten (siehe z. B. S. Weinberg, Gravitation and Cosmology , Gl. (8.2.15)):

$$ds^{2}=\frac{1-r_{g}/\left( 2r\right) }{1+r_{g}/\left( 2r\right) } \,dt^{2}-\frac{1+r_{g}/\left( 2r\right) }{1-r_{g}/\left( 2r\right) }\,\frac{r_{g}^{2}}{4r^{4}}\left( \mathbf{r}\cdot d\mathbf{r}\right) ^{2}-\left( 1+\frac{r_{g}}{2r}\right) ^{2}d\mathbf{r}^{2}.$$