Können sich Massen in 2+1 Schwerkraft bewegen?

Ich möchte grundlegende Konzepte der Allgemeinen Relativitätstheorie in der 2+1-Raumzeit verstehen. Soweit ich weiß, sagt GR voraus, dass eine solche Raumzeit überall flach ist, mit Ausnahme der Punktmassen, die ein Winkeldefizit proportional zu ihrer Masse erzeugen. Flachland mit einer Punktmasse ist wie die Oberfläche eines Kegels. Ich stelle mir vor, dass das Flachland zu einem (konvexen) Polyeder gefaltet werden kann, wenn man andere Punktmassen hinzufügt (dann gibt es die Einschränkung der Gesamtmassen, da das Gesamtwinkeldefizit 720 Grad beträgt) (siehe Anmerkung Nr. 1). Ich gehe davon aus, dass ein 2D-Flachländer (zumindest lokal) das Überqueren der Kanten nicht bemerken würde, wenn er sich von einer Polyederfläche zur anderen bewegt.

Das Problem, das ich mit diesem Modell habe, ist, dass, wenn ein schwerer Körper, der das Flachland definiert, in Bewegung gesetzt wird, sich seine Masse ändern muss und – aus lokaler Sicht überraschender – auch die Massen der benachbarten Körper, um die Gesamtheit von 720 Grad beizubehalten . Das Bild zeigt einen Würfel mit einer Spitze, die sich entlang der Kante zu seiner Mitte bewegt, mit entsprechenden Winkeldefiziten.

Andererseits weiß ich, dass die 2+1-Schwerkraft und die Bewegung von Punktmassen von Gott (in seiner zweisaitigen Zeitmaschine), Caroll, Guth, t'Hooft und anderen ernsthaft in Betracht gezogen wurden. Wo ist der Fehler in meinem naiven Modell?

Bearbeitet : Angesichts der ersten Antwort und Kommentare sollte ich vielleicht genauer sein:

Ist eine Bewegung möglich, die eine Änderung des Winkeldefizits (und damit der Masse) der umgebenden Punktmassen erfordert, oder ist nur eine Bewegung möglich, wenn alle Winkeldefizite konstant gehalten werden? Wie auch immer, für einen Flatender, der auf der Polyederoberfläche lebt, sieht die Situation so aus, als gäbe es eine Wechselwirkung zwischen den Punktmassen, obwohl die Raumzeit zwischen ihnen flach ist. Oder ist eine solche Konfiguration (Ausgangszustand) einfach unmöglich?

Bearbeitet : Ich habe die Tatsache übersehen, dass eine Punktmasse nicht einfach durch ein Wunder "in Bewegung gesetzt" werden kann - der Gesamtimpuls muss erhalten bleiben . Ich werde darüber nachdenken und ein besseres Beispiel vorbereiten.

Bearbeitet : Diese Papiere von 't Hooft können Antworten enthalten:

Die Evolution von Gravitationspunktteilchen in 2+1 Dimensionen (pdf)

Dreidimensionale Einstein-Schwerkraft: Dynamik des flachen Raums (pdf)

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Anmerkungen (in späteren Bearbeitungen hinzugefügt):

1) Gott & Alpert: Allgemeine Relativitätstheorie in einer (2+1)-dimensionalen Raumzeit (Gen. Relat. Gravit. 16:243-247, 1984):

"Betrachten Sie ein konvexes Polyeder mit einer endlichen Anzahl von Flächen. Die Flächen und Kanten haben keine Eigenkrümmung und stellen Lösungen der Vakuumfeldgleichungen dar. Die Ecken haben jeweils ein Winkeldefizit (wie die Spitze eines Kegels) und stellen Punktmassen dar. Für Beispielsweise repräsentiert ein Universum, das wie die Oberfläche eines Würfels geformt ist, ein Vakuum mit 8 Massenpunkten M = π / 2 jeweils (drei Quadrate treffen sich an jedem Scheitelpunkt und ergeben jeweils ein Winkeldefizit von π / 2 ). Das statische Einstein-Universum von Gleichung (6) kann durch ein Polyeder mit vielen Flächen angenähert werden, die viele Scheitelpunkte mit jeweils kleinen Winkeldefiziten enthalten. Die Gesamtmasse in einem solchen abgeschlossenen Universum ist immer M u = 4 π ."

Meiner Meinung nach gibt es auch einige nichtkonvexe Polyeder, die gut funktionieren.

Polyeder ist eine Art Sonderfall (weil es endliches Volumen impliziert). Warum nicht zuerst zwei Punktteilchen mit kleinem Winkeldefizit betrachten. Dies könnte auf eine 2D-Ebene (mal Zeit) abgebildet werden, wobei zwei Scheiben ausgeschnitten (und entlang der Schnittlinie geklebt) werden.
@ user23660 Denn in einem solchen Fall gibt es nur eine Obergrenze des gesamten Winkeldefizits und damit der Masse (im offenen Flachland): 360 Grad (andernfalls können Sie das Flachland nicht ohne Überlappung entfalten). Dann verstehe ich, dass sich die beiden Teilchen frei bewegen können.
Sie fragen sich also, ob die Kompaktheit der multikonischen Raumzeit (dh des Polyeders) zusätzliche Einschränkungen implizieren würde?
@ user23660 Ich denke schon :-)
Für den Minimalfall von 4 Teilchen (Tetraeder) definieren die Winkeldefizite der Eckpunkte den Tetraeder bis zur Neuskalierung. Die einzige zulässige Bewegung ist die Vergrößerung (oder Kontraktion) des Tetraeders (eine Art kosmologische Expansion).
Das Hinzufügen des fünften Partikels fügt jedoch auch zwei zusätzliche Freiheitsgrade hinzu: Es gibt andere Verformungen als die Neuskalierung (Bewahrung von Defiziten). Ihr Beispiel des Würfels hat noch mehr Bewegungsgrade (z. B. Skalierung entlang einer Achse). Wir können also die Hypothese aufstellen, dass mehr Teilchen (und weniger Defizit für jedes) mehr Bewegungsgrade bedeuten, sodass in der Grenze von unendlich vielen Teilchen die Anzahl der Freiheitsgrade pro Teilchen wie im Fall ohne Gravitation wäre (2 Grad pro Teilchen ).
Hoppla! Beim Nachdenken wurde mir klar, dass das Tetraeder eine 3-parametrische Verformung aufweist, die das Winkeldefizit der Scheitelpunkte beibehält (ein Parameter entspricht der Ähnlichkeitstransformation). Dann fügt das Hinzufügen jedes nächsten Scheitelpunkts zwei weitere Freiheitsgrade hinzu.
@ user23660 In gewissem Sinne haben minimale Polyeder 3 Scheitelpunkte - stellen Sie sich vor, ein Tetraeder ist auf Nullvolumen abgeflacht - der vierte Scheitelpunkt hat ein Winkeldefizit von 0, mit anderen Worten, Sie können ihn entfernen.
Ja, und für dieses System aus 3 Teilchen ist die einzig zulässige Entwicklung eine kosmologische Expansion mit linearer Abhängigkeit des Skalenfaktors von der Zeit ( a ( t ) = C ( t − t 0 ) ).
@ user23660 Warum ist nur die lineare Entwicklung möglich?
Weil es keine Kräfte gibt, die die Geschwindigkeit verändern. Dieser Aspekt entspricht vollständig dem offenen Fall.

Antworten (1)

Die Differentialgeometrie sagt voraus, dass der Weyl-Tensor in 2+1-Dimensionen verschwindet. Die Allgemeine Relativitätstheorie sagt voraus, dass die Ricci-Krümmung im Vakuum verschwindet – dh keine Kräfte in der Ferne. Daher kann es in der dreidimensionalen Raumzeit immer noch Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft geben, aber nur in einer Region mit einem Spannungsenergietensor ungleich Null.

Es sieht so aus, als wäre die Frage des OP in Bezug auf die diskrete Raumzeit im Regge-Stil formuliert. In diesem Zusammenhang wäre seine Aussage, dass die Raumzeit überall flach ist, außer an Scheitelpunkten, die Massenpunkte tragen, richtig?
@twistor59: Sicherlich ja, da der SEM-Tensor an diesen Stellen nicht verschwindet.
Ich verstehe die Antwort leider nicht ganz, aber es scheint mir, dass Ihre Argumentation nicht auf das geschlossene Flachland beschränkt ist (wo die Gesamtsumme der Winkeldefizite 720 Grad beträgt). Bedeutet dies, dass die Gott-Zeitmaschine, die zwei kosmische Saiten verwendet, unmöglich ist, nur weil sich die Saite (die hier analog zur Punktmasse oder den Scheitelpunkten ist) nicht relativ zueinander bewegen kann?
Ich verstehe die Begründung hinter dem Satz "Um Ihre Frage zu beantworten, die Massen könnten sich nicht bewegen, es sei denn, sie befinden sich irgendwo wie im Inneren der Erde" . Warum muss sich Masse in einer gekrümmten Raumzeit befinden, um sie zu bewegen? Punktteilchen können sich in der flachen Raumzeit unabhängig vom Vorhandensein von Schwerkraft bewegen, und eine besondere Art einer solchen Schwerkraft sollte eine solche Bewegung nicht ausschließen (ändern Sie einfach die Wechselwirkungen zwischen solchen Teilchen).
@ user23660: Oh, ja, du hast Recht. Ich meinte, dass sie aufgrund der Schwerkraft nicht beschleunigen können, ich habe es behoben.
@LeosOndra: Richtig. Es gilt für alle 2+1 dimensionalen Raumzeiten.
Nun, im Falle von normalem GR, R μ v = 0 am Punkt P impliziert keine flache Geometrie an diesem Punkt. Und tatsächlich werden Objekte in Regionen gut beschleunigt, wo R μ v = 0 .
@AlexeyBobrick: Aber in 2+1 R μ v = 0 impliziert R μ v λ ρ = 0 . Die Geometrie ist also flach.
Ich sollte vielleicht klarstellen, dass ich nicht an einer beschleunigten Bewegung aufgrund des Vorhandenseins der anderen Punktmassen interessiert bin, sondern an der Möglichkeit jeder Bewegung.
@LeosOndra: Eine solche Bewegung ist sogar für konvexe Polyeder möglich, solange genügend Scheitelpunkte vorhanden sind. Nur die Anzahl der Freiheitsgrade ist kleiner als im offenen (nicht kompakten) Raum.
@LeosOndra: Ich sehe das Problem mit der allgemeinen Bewegung nicht. Sie haben ganz gut Bewegung in der speziellen Relativitätstheorie. Wenn Sie sich Sorgen über Diskontinuitäten machen, brauchen Sie nicht unbedingt scharfe Kanten für Ihre Materieverteilung, Sie können die Funktion und eine beliebige Anzahl von Ableitungen am Rand Ihrer Materieverteilung schön gegen Null gehen lassen.
Können sich Massen in 2+1 Schwerkraft bewegen?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v