Wie misst man Torsion und Nichtmetrik?

Torsion beeinflusst den Transport von Vektoren entlang eines Pfades. Physikalisch gesehen beeinflusst es die Ausbreitung von Spinorfeldern (EM-Felder werden nicht beeinflusst, da äußere Ableitungen unabhängig von der Verbindung sind). Da der Torsionstensor direkt gleich dem Spintensor ist, bedeutet dies, dass wir so ziemlich alle geometrischen Interpretationen ignorieren und als einfache Wechselwirkung behandeln können.

Dies manifestiert sich in der Hehl-Datta-Gleichung :

$$\begin{equation} i\gamma^\mu \nabla_\mu \psi + \frac{3\kappa}{8}(\overline{\psi}\gamma_\mu\gamma^5\psi)\gamma^\mu\gamma^5\psi - m\psi = 0, \end{equation}$$

Mit$\kappa$die übliche Kopplung an die Schwerkraft. Dies entspricht einer Axialstrom-Axialstrom-Wechselwirkung.

Wenn Sie die Torsion von Hand als etwas Einfaches auferlegen (der einfachste Torsionstensor ist$T_{abc} = \varepsilon_{abc}$), dadurch dreht sich der Spinvektor um eine Achse. Im Allgemeinen breitet sich die Bewegung des Spinvektors parallel entlang eines geodätischen oder tangentialen Vektors aus$u$Ist

$$\begin{equation} S^\mu_{;\nu} u^{\nu} = 3 K^{[\alpha \beta \mu]} S_{\beta} u_{\alpha} + \mathcal{O}(\hbar) \end{equation}$$

Mit$K$der Verzerrungstensor.

Sie wissen vielleicht, dass der Strom eines Spinorfeldes, das der Dirac-Gleichung gehorcht, im Allgemeinen in zwei Teile zerlegt werden kann, die sogenannte Gordon-Zerlegung:

$$\begin{equation} j_\mu = \frac{i}{2m} [\bar \psi (\partial_\mu \psi) - (\partial_\mu \bar \psi) \psi] + \frac{1}{2m} \partial_\nu (\bar \psi \sigma^{\mu\nu}\psi) \end{equation}$$

Der Orbitalstrom$j^c$und der Spinstrom$j^M$(der Spinstrom entspricht in etwa der Magnetisierung und Polarisation in der klassischen EM). Wenn eine Verbindung mit Torsion hinzugefügt wird, erhalten Sie immer noch zwei unabhängig voneinander erhaltene Ströme, aber diesmal von der Form

$$\begin{equation} j_\mu^c = \frac{i}{2m} [\bar \psi (\nabla_\mu \psi) - (\nabla_\mu \bar \psi) \psi] - \frac{1}{2m} \bar{\psi} \sigma^{\alpha\beta} \psi K_{\alpha\beta\mu} \end{equation}$$

$$\begin{equation} j^M_\mu = \frac{1}{2m} (\bar \psi \sigma^{\mu\nu}\psi)_{;\nu} \end{equation}$$

(Ich denke, dass die Dirac-Bilinearität des Spinstroms hier eine 2-Form ist, daher hängt sie auch nicht von der Verbindung ab, sodass sie nicht von Torsion beeinflusst wird.)

Fermionen in einer Raumzeit mit Torsion erzeugen also ein anderes EM-Feld, und Testteilchen, die unter solchen Bedingungen gesendet werden, weichen von der Flugbahn ab, die wir ohne Torsion erwarten würden.

Was den Nichtmetrikitätstensor betrifft:

$$\begin{equation} \nabla_\alpha g_{\mu\nu} = N_{\alpha\mu\nu} \end{equation}$$

es wird sich unter anderem auf die Erhaltung skalarer Größen entlang der Geodäten auswirken. Zum Beispiel bei der Masse

$$\begin{eqnarray} \frac{dp^2}{d\lambda}&=& \frac{d(g_{\mu\nu} p^\mu p^\nu)}{d\lambda} \\ &=& m^2 u^\alpha \nabla_\alpha (g_{\mu\nu} u^\mu u^\nu)\\ &=& m^2 u^\alpha (N_{\alpha\mu\nu} u^\mu u^\nu + g_{\mu\nu} u^\nu \nabla_\alpha u^\mu + g_{\mu\nu} u^\mu \nabla_\alpha u^\nu) \end{eqnarray}$$

Und wie Sie wissen, für Geodäten,$u^\alpha \nabla_\alpha u^\mu = 0$, Verlassen

$$\begin{eqnarray} \frac{dp^2}{d\lambda}&=& m^2 N_{\alpha\mu\nu} u^\alpha u^\mu u^\nu \end{eqnarray}$$

Das bedeutet, dass ein freies Teilchen seine Masse entlang seiner Flugbahn ändern würde.