Gravitonpolarisation in höheren Dimensionen

Es ist nicht schwer zu sehen, dass das Graviton drin ist D raumzeitliche Dimensionen hat ( D − 3 ) D / 2 Polarisationen. In D = 4 es gibt zwei ϵ μ v ± . Was ich merkwürdig finde, ist das in D = 4 Ich kann tatsächlich auswählen ϵ μ v ± = ϵ μ ± ϵ v ± Wo ϵ μ ± sind die zwei Polarisierungen (von bestimmter Ausprägung ± 1 ) für ein masseloses Spin-1-Teilchen wie das Photon. In höheren Dimensionen scheint dies nicht möglich zu sein, da das Photon dies getan hat D − 2 Polarisationen, so dass die Zahl ( D − 2 ) ( D − 1 ) / 2 von ϵ μ λ ϵ μ λ ' Paare stimmt nicht mit der Zahl überein ( D − 3 ) D / 2 der Gravitonpolarisation. Nun, es sei denn, ich betrachte irgendwie nur eine kleinere Teilmenge von ihnen, sagen wir, eine Einschränkung hinzufügen oder eine von ihnen entfernen

( D − 2 ) ( D − 1 ) / 2 − 1 = ( D − 3 ) D / 2
wie in D = 4 Wo ϵ μ + ϵ μ − wird verworfen und hat eine Null-Eiligkeit.

Gibt es eine analoge Konstruktion für ϵ μ v λ in Bezug auf die Spin-1-Polarisationen ϵ μ σ in höheren Dimensionen? Ich vermute, dass etwas Ähnliches nur passieren kann, wenn ich auch Polarisierungen höherer Ausprägung einbeziehe.

Entschuldigung, sollte es ein Absolutwertzeichen geben: | ( D − 3 ) D / 2 | . Denn die Anzahl der Polarisationen fällt bei D=2(2-dimensionale Gravitation) negativ aus!
@BastamTadschik es gibt kein absolutes Zeichen, wie in D ≤ 3 es gibt keine physikalische Polarisation und tatsächlich kein sich ausbreitendes Graviton. Die Formel gilt unverändert für die Dimensionen, in denen es sinnvoll ist, von Graviton-Polarisationen zu sprechen, dh für D ≥ 4 .

Antworten (1)

IMHO, die derzeitige Verwendung des Wortes Helizitäten geschieht nur, wenn man sich eine Darstellung von ansieht S U ( 2 ) .

1) Nun, ein erster Gesichtspunkt ist der Versuch, zu Repräsentationen von zurückzukehren ⊗ N S U ( 2 ) , wenn Sie mit Darstellungen von arbeiten S Ö ( D − 2 ) . Im besten Fall haben Sie verschiedene Arten von "Helizitäten".

Angenommen, wir arbeiten mit D = 6 , also dreh- 1 Masselose Teilchen sind in der fundamentalen Darstellung von S Ö ( 4 ) , die ich schreibe 4 . In Bezug auf S U ( 2 ) ⊗ S U ( 2 ) Darstellungen ergibt dies: 4 → ( 2 , 2 )

[hier schreibe ich die Anzahl der Zustände in die Darstellungen]

Das Multiplizieren von Photonendarstellungen ergibt also 4 × 4 → ( 2 , 2 ) × ( 2 , 2 ) = ( 3 , 3 ) + ( 1 , 3 ) + ( 3 , 1 ) + ( 1 , 1 )

( 3 , 3 ) ist die gesuchte spurlose symmetrische Darstellung des Gravitons, mit 9 = 6 ( 6 − 3 ) 2

Hier haben Photonen also "Helizitäten" ( ± 1 , ± 1 ) , während Gravitonen "Helizitäten" haben ( 0 ± 1 , 0 ± 1 )

Gravitonenzustände könnten zum Beispiel aus Photonenzuständen geschrieben werden:

( + 1 , + 1 ) = ( + 1 , + 1 ) ( + 1 , + 1 )

( − 1 , − 1 ) = ( − 1 , − 1 ) ( − 1 , − 1 )

( + 1 , − 1 ) = ( + 1 , − 1 ) ( + 1 , − 1 )

( − 1 , + 1 ) = ( − 1 , + 1 ) ( − 1 , + 1 )

( + 1 , 0 ) = 1 2 [ ( + 1 , + 1 ) ( + 1 , − 1 ) + ( + 1 , − 1 ) ( + 1 , + 1 ) ]

( 0 , 0 ) = 1 2 [ ( + 1 , − 1 ) ( + 1 , − 1 ) + ( + 1 , − 1 ) ( − 1 , + 1 ) + ( − 1 , + 1 ) ( + 1 , − 1 ) + ( − 1 , + 1 ) ( − 1 , + 1 ) ]

usw.

2) Ein zweiter Gesichtspunkt ist, direkt mit den Repräsentationen zu arbeiten S Ö ( D − 2 )

Lassen Sie uns dieses (französische) Online-Tool der Lie-Gruppe (Université de Poitiers) verwenden. Wählen D 3 ( S Ö ( 6 ) ) , "Tensorproduktzerlegung" (dann "fortfahren"). Lassen Sie uns tippen ( 1 , 0 , 0 ) × ( 1 , 0 , 0 ) , (dann "Start"), und Sie erhalten ( 2 , 0 , 0 ) + ( 0 , 1 , 1 ) + ( 0 , 0 , 0 ) . Hier arbeiten wir mit Dynkin-Indizes.

So ( 2 , 0 , 0 ) ist die gravitonsymmetrische spurlose Darstellung, und es ist auch der höchste Gewichtszustand der Darstellung. Sie können die anderen Zustände der Darstellung erhalten, indem Sie mit den einfachen Wurzeln subtrahieren, die Sie direkt von der Cartan-Matrix von erhalten können D 3 = S Ö ( 6 ) = S U ( 4 ) (das sind die Zeilen der Cartan-Matrix), bis Sie keine positive Zahl erhalten. Hier sind die einfachen Wurzeln ( 2 , − 1 , 0 ) , ( − 1 , 2 , − 1 ) , ( 0 , − 1 , 2 ) . Wenn Sie also beispielsweise die erste Wurzel subtrahieren, erhalten Sie den Zustand ( 2 , 0 , 0 ) − ( 2 , − 1 , 0 ) = ( 0 , 1 , 0 ) , usw.

So könnte jeder Zustand für die Gravitonen (oder die Photonen) dargestellt werden durch 3 ganze Zahlen, also ist es eine alternative Möglichkeit, die Zustände in eine gegebene Darstellung zu klassifizieren.

vielen Dank für die klare und erhellende Antwort. Ich muss sagen, dass mich das Wort Elite noch etwas verwirrt. In D = 4 es ist mit der Darstellung von verbunden S Ö ( 2 ) = U ( 1 ) und nicht von S U ( 2 ) . Ich sehe, dass Sie die Abelsche auswählen U ( 1 ) Untergruppe der S U ( 2 ) als definition der elität, warum ist das so? Im Fall von D = 4 das ist in Ordnung, da die Staaten den verbleibenden Teil der kleinen Gruppe vernichten, ICH S Ö ( 2 ) , unter denen die U ( 1 ) linksinvariant. Außerdem ist die kleine Gruppe nicht nur S Ö ( D − 2 ) . Der Rest muss analog zu vernichtet werden D = 4 um ein Kontinuum von Zuständen zu vermeiden?
Tatsächlich wird die beste Definition für Helizität wahrscheinlich gegeben, indem man sich auf eine einzelne bezieht S Ö ( 2 ) Untergruppe innerhalb der kleinen Gruppe, die überlebt, wenn wir die zusätzlichen Dimensionen fallen lassen. Ich denke grundsätzlich an eine Dimensionsreduktion. Ah, in Ihrer Definition fehlt wahrscheinlich ein Faktor von 2, wo das Photon Helizität hat ( ± 1 , ± 1 ) das Graviton hätte ( 0 ± 2 , 0 ± 2 ) . Wie auch immer, aus Ihrem Beispiel scheint es, dass das Graviton seither immer in der spurlosen symmetrischen Kombination sein wird D − 2 Photonenpolarisationen würden wir die gewünschten erhalten ( D − 2 ) ( D − 1 ) / 2 − 1 = D ( D − 3 ) / 2 , NEIN?
... und ich bin immer noch verwirrt. II führe eine Dimensionsreduktion von a durch 6 D -Graviton H μ v Zu D = 4 Ich bekomme 1 Graviton, 2 masselose Vektoren und 3 Skalare, das sind 9 dof wie erwartet. Also ich würde gerne was sehen S Ö ( 2 ) innen S Ö ( 4 ) gibt diese Zuordnung der Helizität an 2 + 2 × 2 + 1 + 1 + 1 .
Vielleicht ist es keine gute Idee, das Konzept der Helizität auf andere Dimensionen als auszudehnen D = 4 ... Ich habe hier nur einen Index eines Zustands in einer gegebenen Darstellung betrachtet S U ( 2 ) (Wenn es gibt 2 Staaten, es gibt 2 "Helicies"). Ja, ICH S Ö ( 2 ) ist die ganze Symmetriegruppe, und S Ö ( 2 ) ist die physikalische Symmetriegruppe (der Translationsteil entspricht der Eichsymmetrie). Ja, das Graviton liegt immer in der spurlos symmetrischen Darstellung vor S Ö ( D − 2 ) . Dimensionsreduktion ist in Ordnung, aber es ist ein anderer Prozess. Ihre ursprüngliche Frage war eher, wie man Gravitonenzustände aus Photonenzuständen aufbaut.
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