Naive Quantengravitation

Question

Naive Quantengravitation

Sebby

Meine Frage beinhaltet eine Analogie, auf die ich hinweisen muss. Betrachten Sie die Lagrange-Dichte für ein komplexes Skalarfeld:

L = \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ^{†} \partial^{μ} ϕ - \frac{1}{2} M^{2} ϕ^{†} ϕ

$\begin{equation} \mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi^{\dagger}\partial^{\mu}\phi-\frac{1}{2}m^{2}\phi^{\dagger}\phi \end{equation}$ was unter der globalen Eichtransformation invariant ist

ϕ \to e^{ich a} ϕ .

$\phi \rightarrow e^{i\alpha}\phi.$ Der divergenzlose 4-Strom ist

j = (ρ, \underline{j})

$j=(\rho,\underline{j})$ und die zugehörige Erhaltungsgröße ist die elektrische Ladung. Dies veranschaulicht eine globale

U (1)

$U(1)$ Symmetrie. Um die Analogie zu sehen, betrachten wir nun Raumzeit-Übersetzungen

x \to x + a

$x \rightarrow x + a$ die geben

ϕ (X) \to ϕ (X + A) = e^{A^{μ} \partial_{μ}} ϕ .

$\phi(x) \rightarrow \phi(x+a) = e^{a^{\mu}\partial_{\mu}}\phi.$ Die Lagrange-Funktion ist nicht mehr invariant, sondern die Aktion:

S = \int L D^{4} X

$\begin{equation} S = \int \mathcal{L} d^{4}x \end{equation}$ ist aufgrund der Übersetzungsinvarianz des Lebesgue-Maß invariant. Der Noetherstrom ist der Stress-Energie-Tensor

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ und die Erhaltungsgröße ist der 4-Impuls. Aufgrund der Rolle von

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ in den Einstein-Feldgleichungen können wir sagen, dass der 4-Impuls die Rolle der Gravitationsladung spielt.

Die Förderung der globalen U(1)-Symmetrie zu einem lokalen Paar $\phi$ zum elektromagnetischen Feld. Dies beinhaltet das Modifizieren des Lagrange-Operators durch Einführen einer kovarianten Ableitung und Hinzufügen des Lagrange-Operators für das EM-Feld. Meine Frage ist: Ergibt die Förderung der globalen Übersetzungsinvarianz von S zu einer lokalen die korrekte Kopplung von $\phi$ zum Gravitonfeld? Eine Aktionsinvariante unter allgemeinen Koordinatentransformationen ist:

S = \int L \sqrt{- G} D^{4} X

$\begin{equation} S = \int \mathcal{L} \sqrt{- g}d^{4}x \end{equation}$ Wo

L

$\mathcal{L}$ sollte auch entsprechend modifiziert werden und

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ ist die Metrik. Ich formuliere und erweitere meine Frage:

(1) Enthalten allgemeine Koordinatentransformationen lokale Translationen? $x \rightarrow x + a(x)$ oder sind sie nur $SO(1,3)$ Gauge-ähnliche Transformationen?

(2) Angesichts der obigen Analogie ist die Eichgruppe für die Gravitation die Translationsgruppe in der Minkowski-Raumzeit. Die Gruppe ist nicht kompakt. Sollte die Gruppe nicht kompakt sein, um einen positiv-definiten kinetischen Term für Gravitonen zu garantieren?

(3) Die Übersetzungsgruppe ist ebenfalls abelsch. Steht das nicht im Widerspruch zu der Tatsache, dass Gravitonen selbst interagieren?

(4) Im Wesentlichen sage ich, dass die klassische Gravitationstheorie wahrscheinlich unvollständig ist. Gibt es Ansätze zur Schwerkraft, die die zugrunde liegende Raumzeit so modifizieren, dass die Isometriegruppe des neuen Raums eine kompakte Version der Translationsgruppe der Minkowski-Raumzeit zulässt? Vielleicht war das Universum nach der Entstehung kompakt, aber aufgrund der Expansion ist die Kompaktheit jetzt verborgen.

(5) Verwandt mit (4). Sollten Elementarteilchen nicht irreduzible Darstellungen der Isometriegruppe des Universums entsprechen? Wenn das Universum Minkowski ist, dann ist die Isometriegruppe die Poincare-Gruppe. Wurden diesbezüglich andere Möglichkeiten geprüft?

(6) In c = h = 1 Einheiten hat die Newtonsche Konstante G die Massendimension -2. Die Feinstrukturkonstante ist gegeben durch:

a = \frac{e^{2}}{4 π ϵ_{0}}

$\alpha = \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}}$ Im Gravitoelektromagnetismus haben wir die Entsprechung

G \leftrightarrow \frac{1}{4 π ϵ_{0}}

$G \leftrightarrow \cfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}}$ . Als Schwung

p

$p$ spielt die Rolle der Gravitationsladung, sollte nicht die Kopplungskonstante an die Gravitation gegeben sein durch

G \sim P^{2} G = M^{2} G

$g \sim p^{2} G = m^{2} G$ Wo

m

$m$ ist die Masse des betreffenden Teilchens?

g

$g$ ist dann dimensionslos. Bedeutet dies, dass die kovariante Ableitung zum Koppeln von Materie an die Schwerkraft durch etwas wie gegeben ist?

D_{μ} = \partial_{μ} - p^{ν} A_{μ ν}

$D_{\mu} = \partial_{\mu} - p^{\nu} A_{\mu\nu}$ ? Wo

A_{μ ν}

$A_{\mu\nu}$ bezieht sich auf ein Tensorpotential

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ .

(7) Die obigen Ideen könnten etwas über Spin-0-Bosonen und ihre Massenrenormierung implizieren. Irgendwelche Gedanken? Könnte die $\Lambda^{2}$ Abhängigkeit von $m^{2}$ nur ein Hinweis darauf sein, dass die Schwerkraft ignoriert wurde?

Antworten (1)

Naive Quantengravitation

Lubos Motl · Answer 1

Ja, die Beförderung der Raumzeit-Translationen zu einer lokalen Gruppe – und aus gruppentheoretischen Gründen muss es die Gruppe aller Koordinatentransformationen bzw. Diffeomorphismen sein – ergibt eine konsistente Gravitationstheorie mit dem korrekt gekoppelten metrischen Tensor, einschließlich des nichtlinearen (Selbst -Wechselwirkung) Begriffe, die erscheinen, weil die Diffeomorphismen eine nicht-Abelsche Gruppe bilden.

Es sind nur die Diffeomorphismen $x\to x+a(x)$ die an die Existenz des eigentlichen Gravitations-Eichfeldes, der Metrik, gebunden sind. Eine Beschreibung der Schwerkraft kann auch die lokale Lorentz-Symmetrie haben $SO(3,1)$ Einwirken auf "Vielbeins" usw., aber diese zusätzliche Spursymmetrie erzeugt nicht die Gravitationskraft. Es ist nur eine Bequemlichkeit, die hilfreich und/oder notwendig ist, um die Gravitationstheorie mit Spinoren und ähnlichen Arten von Feldern zu koppeln.
Nein, die Übersetzungsgruppe muss nicht kompakt sein und im Minkowski-Raum ist sie nicht kompakt. Tatsächlich ist die natürliche bilineare Form der Lie-Algebra unbestimmt. Dies erzeugt keine negativen Normzustände im Graviton-Multiplett, da alle Komponenten $g_{0i}$ werden durch die Eichsymmetrie – durch die Diffeomorphismen – unphysikalisch gemacht. Auch gibt es effektiv keine Probleme mit der Nichtkompaktheit, da die Wirkung für das Eichfeld mit den zweiten Ableitungen im Ricci-Skalar beginnt $R$ . Die Schwerkraft ist im Großen und Ganzen kein Sonderfall der Yang-Mills-Theorie, da die Übersetzungen keine Yang-Mills-Gruppe sind. Yang-Mills-Gruppen wirken in einzelnen Punkten, aber Diffeomorphismen mischen die Punkte. Beide sind lokale Gruppen, aber sie sind nicht gleich, daher sind die Regeln unterschiedlich.
Die Selbstwechselwirkungen treten auf, weil die Diffeomorphismusgruppe nicht-Abelsch ist. Im Fall von Yang-Mills sind die Punkte von anderen Punkten isoliert, sodass die gesamte Eichgruppe nicht-abelsch ist, wenn die Gruppe an einem Punkt dies ist. Aber diese Beziehung gilt nicht im Fall von Diffeomorphismen. Die Übersetzungsgruppe pro Punkt ist abelsch, die gesamte Eichgruppe jedoch nicht.
Nein, die klassische Gravitationstheorie ist nicht unvollständig und es gibt keinen Grund, eine kompakte Gruppe von Symmetrien pro Punkt zu "fordern".
Ja, aber die Behauptung ist leer. Das Universum muss keine Isometrien haben, aber Elementarteilchen können immer noch existieren. Ja, sie würden im Allgemeinen in "eindimensionalen Multipletts" vorliegen, aber das bedeutet nicht, dass es keinen anderen Weg geben könnte, sie zu organisieren.
Ja, die dimensionslose Gravitationskopplungskonstante ist $O(GMm)$ im gleichen Sinne, wie wir sagen können, dass es ist $O(Qq/4\pi\epsilon_0)$ im Elektromagnetismus. Man kann annehmen, dass die dimensionslosen Ladungen von der ersten Ordnung sind, aber das gilt nicht für die Massen. Ihre Formel für die kovariante Ableitung ist falsch. Die kovariante Ableitung in der „Eichtheorie“ namens Gravitation ist die übliche kovariante Ableitung in der allgemeinen Relativitätstheorie. Es ist nicht vom Yang-Mills-Typ, weil die Schwerkraft keine Yang-Mills-Theorie ist (eine einfache Unterklasse von Theorien mit lokalen Symmetrien).
Die Gravitation sagt nur "eigentlich" etwas über die Spin-2-Teilchen aus. Alles andere ist nur "Materie" und sein Spin ist irrelevant. Die Korrekturen der Higgs-Masse usw. sind aufgrund von nicht-gravitativen Beiträgen unterschiedlich. Es wurden Versuche unternommen, die Schwerkraft so stark zu modifizieren, dass die Divergenz verschwindet, aber alle diese Versuche sind entweder inkonsistent oder widersprechen dem Äquivalenzprinzip.

Danke für die Antwort. Die Dinge scheinen ziemlich klar zu sein, aber ich habe noch ein paar Fragen: Ist es nicht möglich, die allgemeine Relativitätstheorie in eine Yang-Mills-Theorie einzubetten? Würde das nicht bei der Quantisierung helfen? Bei diesem Gedankengang würde die nicht-abelsche Natur der Diffeomorphismusgruppe aus einem verallgemeinerten Typ einer nicht-abelschen Eichgruppe folgen. Oder ist die Yang-Mills-Theorie streng auf die Anwendung auf Teilchen mit Spin 1 beschränkt, und es sind keine sinnvollen Verallgemeinerungen wahrscheinlich?
@Sebby Du kennst das Coleman-Mandula-Theorem und seine supersymmetrischen Schlupflöcher?
Ja, aber nicht zu viel, nach meinem Verständnis ändert es die zugrunde liegende Raumzeit, indem es die Theta-Dimensionen hinzufügt. Wenn der Raum weniger radikal geändert wird, würde sich dann nicht die Isometriegruppe ändern und das Coleman-Mandula-Theorem nicht unbedingt gelten? Eigentlich sollte die Art der Verallgemeinerung, die ich im Sinn habe, irgendwie von der zugrunde liegenden Raumzeit abstrahieren.
Lieber @Sebby, ich habe es bereits ungefähr dreimal in der Antwort geschrieben, aber die allgemeine Relativitätstheorie (in der Masse) ist einfach nicht gleichbedeutend mit irgendeiner Theorie des Yang-Mills-Typs in derselben Masse. Möglicherweise haben Sie eine AdS / CFT-Korrespondenz usw., in der die Schwerkraft in der Masse - über eine sehr nicht triviale Äquivalenz - einer Eichtheorie in einem niederdimensionalen Raum (Grenze) entspricht. Aber die Yang-Mills-Symmetrie wirkt auf einzelne Punkte, während die Diffeomorphismen Punkte ineinander mischen. Sie sind nur qualitativ unterschiedliche Symmetrien. Dies spiegelt sich auch darin wider, dass das Graviton Spin 2 und Eichbosonen 1 hat.
Die Yang-Mills-Theorie besagt , dass das Eichfeld ein Spin-Eins-Feld ist. Wenn es sich um ein Spin-Zwei-Feld handelt, wie der metrische Tensor, wird es einfach nicht als Yang-Mills-Theorie bezeichnet. Schwerkraft ist eine „Verallgemeinerung“ einer Eichtheorie, aber das Wort „Verallgemeinerung“ ist wirklich notwendig und bedeutet, dass die Schwerkraft nicht den ursprünglichen Regeln und Bedingungen der gewöhnlichen, nicht verallgemeinerten Yang-Mills-Theorie gehorcht. Ehrlich gesagt hoffe ich aufrichtig, dass ich diese einfache Tatsache nicht zum fünften Mal schreiben muss - Sie scheinen überhaupt nicht zuzuhören.
Tut mir leid, dass ich so darauf bestanden habe, aber es war mehr eine Frage der Hoffnung als alles andere.

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Sebby

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