Wie viele physikalische Freiheitsgrade hat die SU(N)SU(N)\mathrm{SU(N)} Yang-Mills-Theorie?

Der U ( 1 ) Der QED-Fall hat zwei physikalische Freiheitsgrade, was leicht zu verstehen ist, da das freie elektromagnetische Feld quer zur Ausbreitungsrichtung sein muss. Aber was sind die physikalischen Freiheitsgrade die S U ( N ) Yang-Mills-Theorie?

Ich glaube, dass die S U ( N ) Die YM-Theorie hat vier Freiheitsgrade, und es ist leicht zu erkennen, dass wir durch Eichfixierung (wie die Lorentz-Bedingung oder die Coulomb-Bedingung) immer einen redundanten Freiheitsgrad entfernen können. Aber dann haben wir die redundanten Freiheitsgrade immer noch nicht vollständig fixiert. Somit ist meine Frage:

Wie viele physikalische Grade und wie viele redundante Freiheitsgrade hat die YM-Theorie?

Mich würde interessieren, wie wir dies mathematisch bestimmen können, und auch zu verstehen, was die physikalische Intuition dahinter ist?

Antworten (2)

S U ( N ) hat N 2 − 1 Gluonen, wobei jedem Erzeuger eines entspricht (dies wird als adjungierte Darstellung bezeichnet). Diese "Quantenzahl" (die als Index für die adjungierte Rep bezeichnet werden könnte) könnte zusammen mit der Lorentz-Darstellung für ein masseloses Vektorteilchen tensoriert werden, das zwei Polarisationen haben sollte (genau wie QED). So wird die Theorie haben 2 ( N 2 − 1 ) physikalische Freiheitsgrade.

Ich verstehe nicht, warum Sie sagen, dass die Eichbosonen massiv sein sollten - wenn dies der Fall wäre, wäre die Eichsymmetrie "gebrochen".

Ja, tut mir leid, ich habe meine Nachricht bearbeitet (über die Masse der Bosonen), ich glaube, mein Gehirn hat aufgehört zu arbeiten.
Ich bin mir nicht sicher, ob ich sehen kann, warum die S U ( N ) YM-Theorie hat N 2 − 1 Freiheitsgrade. Ich gehe davon aus das N 2 − 1 hat damit zu tun S U ( N ) hat N 2 − 1 Generatoren. Ich verstehe nicht, was das mit der adjungierten Darstellung der Gluonen zu tun hat? Sind auch dabei N 2 − 1 physische, redundante oder totale Freiheitsgrade?
Nein, warte, ich bin jetzt wirklich verwirrt über deinen Kommentar zu den Massen von Bosonen. Wenn sie masselos sind, bewegen sie sich mit Lichtgeschwindigkeit und müssen daher 2 physikalische Freiheitsgrade haben (wie alle elektromagnetischen Wellen), richtig? (Aber das widerspricht Ihrer Aussage über das Sein N 2 − 1 Freiheitsgrade.) Wenn ich also richtig liege, ist meine Frage nur interessant, wenn die Symmetrie gebrochen ist und die Bosonen an Masse zugenommen haben.
Ich habe die Antwort umformuliert - ist es jetzt klar? Es ist genau so, wie du es in den Kommentaren sagst.
@Hunter Damit die Theorie unter Eichtransformationen invariant ist, muss das Eichfeld in die adjungierte Darstellung der Eichgruppe transformiert werden. Diese Darstellung kommt mit N 2 − 1 Generatoren.
Die Dimension der adjungierten Darstellung ist dieselbe wie die Dimension der Gruppe. Die Dimension von S U ( N ) Ist N 2 − 1 weil das N × N Komplexe Matrizen haben eine reelle Dimension 2 N 2 , aber die Bedingung A † A = ICH Ist N 2 reelle Gleichungen und det A = 1 Ist 1 zusätzliche unabhängige Einschränkung. Diese Blätter N 2 − 1 Maße.

Da ich neu hier bin und oben nichts kommentieren kann schreibe ich meinen Kommentar einfach als kleine Antwort. Ich denke, in Ihrer Frage ist ein kleiner Fehler. Sie fragen, wie viele Freiheitsgrade es in einer Yang-Mills-Theorie gibt, obwohl Sie fragen möchten, wie viele Polarisationen das Gluon hat. Zunächst einmal ist die Anzahl der Generatoren der Eichgruppe die Anzahl der Eichbosonen, die Sie erhalten. S U ( N ) Gruppen haben in der Tat N 2 − 1 Generatoren, ausgenommen U ( 1 ) das hat einen. In der QED entspricht dies dem Photon, in S U ( 2 ) auf drei Eichbosonen (nicht genau die W's und das Z, da diese durch Mischen erzeugt werden S U ( 2 ) L mit U ( 1 ) j ), und in S U ( 3 ) Es gibt 8 Gluonen, wie Siva dir bereits gesagt hat.

Nun zu Ihrer Frage, wie viele Polarisationen haben diese Eichbosonen? Beginnen wir mit einem massiven Vektorboson. Wir können seine Helizitätszustände im Ruhesystem definieren und dann natürlich auf das System verstärken, in dem sich das Partikel bewegt. Unter diesem Boost hat die Längspolarisation einen Begriff E / M (Wo E die Energie u M die Masse des Teilchens), die unendlich wird, wenn die Masse des Teilchens gegen Null geht. Dies würde Probleme bezüglich der Einheitlichkeit der Theorie verursachen, da die Beiträge in den Matrixelementen riesig wären. Was man tun kann, ist, die Wechselwirkungen der Theorie so anzuordnen, dass die Beiträge von Längspolarisationen um einen Faktor der Ordnung unterdrückt werden M / E . Für den Fall, dass das Vektorboson nun streng masselos ist, entkoppeln sich die Längsbeiträge vollständig. Daher haben masselose Vektorbosonen zwei physikalische Zustände maximaler Helizität, während massive drei haben. Gluonen sind masselos, ebenso wie Photonen, während W und Z massiv sind.

Ich hoffe ich habe geholfen. Ich bin mir ziemlich sicher, dass Sie weitere Details sogar in Wikipedia finden können, wenn Sie möchten.

Danke! Das war genau meine Frage, aber ich glaube, ich habe es schlecht formuliert.
Wie viele physikalische Freiheitsgrade hat die SU(N)SU(N)\mathrm{SU(N)} Yang-Mills-Theorie?
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