Was rechtfertigt die Verdichtung von Raum und Raumzeit im Zusammenhang mit Instantonen?

Beim Studium von Yang-Mills-Instantonen gibt es zwei Fälle, in denen man einen Raum verdichtet.

  • Bei der Klassifizierung von Vakuumzuständen fordert man A μ ( X ) eine Konstante als werden X → ∞ .
  • Wenn man Instanton-Lösungen findet, verlangt man A μ ( X ) eine Konstante als werden X → ∞ .

Wir können dann Raum und Raumzeit verdichten S 3 Und S 4 bzw. Bis hin zu kleinen Wandlungen finden wir die Vakuumzustände klassifiziert nach π 3 ( G ) , während die Instantons durch topologisch verschieden klassifiziert werden G -Bündel an S 4 , die ebenfalls von indiziert sind π 3 ( G ) .

Diese Annahmen sind absolut entscheidend, damit die topologischen Argumente funktionieren, aber ich habe sie nicht als gerechtfertigt angesehen. Die meisten Lehrbücher sagen, dass diese Bedingungen notwendig sind, damit die Lösungen endliche Energie bzw. endliche euklidische Wirkung haben, aber das ist einfach nicht wahr. Zum Beispiel könnte ich in jedem Fall eine große Gauge-Transformation durchführen, um zu geben A μ Welche Abhängigkeit ich auch immer im räumlichen oder raumzeitlichen Unendlichen haben möchte, und dies ändert die Energie / Wirkung nicht durch Eichinvarianz.

Ich habe auch keine Klärung aus mathematisch strengen Quellen erhalten, weil sie dazu neigen, den Raum sofort zu verdichten, ohne physikalische Begründung oder Kommentar. Was ist das wahre Argument?

Großspurtransformationen sind ein Thema mit vielen Fallstricken, vgl. physical.stackexchange.com/q/314384/50583 , wo meine Antwort nebenbei auch ein Argument für die verdichtete Raumzeit von Instantons diskutiert.
@ACuriousMind Eigentlich war diese Antwort eine der "mathematisch strengen Quellen", von denen ich gesprochen habe! Soweit ich das beurteilen kann, gehst du sofort aus R 4 Zu S 4 und argumentieren, dass die Mathematik langweilig wäre, wenn wir das nicht täten, da alle Bündel auf R 4 wäre trivial. Aber das sagt mir nicht, warum man körperlich konsumieren sollte S 4 . Da die Wahl physische Konsequenzen hat, sollte sie eine physische Rechtfertigung haben.
Ich sage am Ende des ersten Abschnitts, dass nicht-triviale Bündel, dh Instantonen, für ihren Beitrag zu nachweisbaren Effekten wie der axialen Anomalie notwendig sind. An R 4 , erhalten Sie keine Instanton-Effekte.
@ACuriousMind Ich meine, ich akzeptiere, dass Instanton-Effekte real sind und dass Sie die falsche Antwort erhalten würden, wenn Sie sie verwenden würden R 4 , aber man muss die Einnahme immer noch physisch rechtfertigen S 4 über R 4 . Wenn Sie beispielsweise nach den harmonischen Frequenzen einer Saite auflösen, deren Enden an Wänden befestigt sind, können Sie nicht einfach sagen: "Wir postulieren feste Randbedingungen, da die berechneten Frequenzen sonst nicht mit dem Experiment übereinstimmen würden". Stattdessen rechtfertigen Sie diese Randbedingungen, indem Sie sagen, dass die Enden physisch an Ort und Stelle gehalten werden.
Ich bin nicht der Meinung, dass man alles, was über „es passt zum Experiment“ hinausgeht, „physikalisch rechtfertigen“ muss. Ihre Saitenanalogie ist irreführend, weil es eine klare Ontologie der "Theorie der Saite" gibt, da sie eindeutig der physikalischen Saite entspricht, aber es gibt keine so klare unumstrittene Ontologie für die Quantenmechanik im Allgemeinen.

Antworten (1)

Die Begründung der Verdichtung zu S 3 Und S 4 ist anders.

Im ersten Fall (Raumverdichtung) lässt sich die Verdichtung wie folgt erklären: (Dies ist eine plausible physikalische Erklärung, kein vollständiger mathematischer Beweis).

Wir glauben, dass das Skyrme-Modell das Niedrigenergieverhalten von QCD erklärt. Es gibt viele experimentelle Ergebnisse, die diese Annahme stützen. Insbesondere ist dieses Modell in der Lage, bestimmte Eigenschaften sogar für schwere Baryonen innerhalb von 10 % der experimentellen Werte vorherzusagen. Die Baryon-Zahl in diesem Modell ist gegeben durch:

B = 1 24 π 2 ∫ S P A C e T R ( U − 1 D U ∧ U − 1 D U ∧ U − 1 D U )
Wenn der Raum flach ist, verschwindet die Baryonenzahl jedes Baryons mit endlicher Masse. Daher unterstützt der flache Raum keine Baryonen. Bitte beachten Sie, dass diese Konsequenz physikalisch sehr stark ist, weil sie uns sagt, dass die Raumzeit, die eine Lösung von Einsteins Feldgleichungen der Gravitation ist, auf den räumlichen Scheiben kompakt sein muss.

Im Instanton-Fall können wir uns immer noch in einer physikalischen Minkowskischen Raumzeit befinden. Die Lösungen in der euklidischen Signatur entsprechen nur Tunnelereignissen in der physikalischen Raumzeit. Dies ist der grundlegende Trick bei der Verwendung der euklidischen Signatur. Es kommt vor, dass diese Lösungen, wenn sie auf endliche Energie beschränkt sind, bei der euklidischen Unendlichkeit verschwinden müssen, wodurch sie effektiv Lösungen auf einer kompaktierten euklidischen Raumzeit beschreiben, aber die Amplituden dieser Lösungen entsprechen echten Tunnelamplituden in der physikalischen Minkowskischen Raumzeit.

Bemerkungen:

Mathematiker(1): Mathematiker haben kein Interesse an einer physikalischen Erklärung, warum die Raumzeit verdichtet ist. Sie wählen die Raumzeit, die zu dem mathematischen Ergebnis passt, das sie benötigen. Ich glaube also nicht, dass Sie diese Art von Erklärungen in mathematisch strengen Arbeiten finden können.

Mathematiker(2): Mathematiker, die sich mit der Quantenfeldtheorieforschung befassen, verwenden funktorielle qft-Maschinen (insbesondere in tqft). Nach dieser Denkweise ist eine Quantenfeldtheorie nur eine Black Box, die eine Mannigfaltigkeit als Eingabe akzeptiert und als Ausgabe einen Hilbert-Raum zurückgibt, dh dieselbe Theorie ist nicht auf einer einzigen Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit definiert und kann es sein gleichzeitig auf kompakten und nicht kompakten Verteilern mit Minkowski- oder Euklidischen Signaturen verwendet.

Großes Messgerät: Sie können keine großen Messgerättransformationen auf Instantons anwenden, da Sie in diesem Fall eine andere unäquivalente Konfiguration mit einer anderen Instantonnummer erhalten. Große Eichtransformationen sind keine Redundanzen in der Beschreibung der Feldtheorie wie kleine Eichtransformationen. Große Spurtransformationen sind Symmetrien, die ungleiche Konfigurationen verbinden. Sie sind im Unendlichen singulär und daher inakzeptable Eichtransformationen. Dieses Thema wurde hier auf PSE mehrfach diskutiert.

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