Potenzial- und Hauptpakete von Yang-Mills

Der Begriff Eichtransformation bezieht sich in diesem Zusammenhang auf zwei verwandte Begriffe. Lassen$P$Schulleiter sein$G$-Bündelung über einen Verteiler$M$, und lass$\cup_i U_i$eine Abdeckung sein von$M$. Eine Verbindung auf$P$wird durch eine Sammlung von angegeben$\mathfrak{g}=\mathrm{Lie}(G)$bewertete 1-Formen$\{A_i\}$in jedem Patch definiert$\{U_i\}$, zusammen mit$G$-bewertete Funktionen$g_{ij} : U_i \cap U_j \to G$auf jeder doppelten Überlappung, so dass überlappende Pegelfelder miteinander in Beziehung stehen

$$A_j = g_{ij} A_i g_{ij}^{-1} + g_{ij} \mathrm{d} g_{ij}^{-1}.\tag{1}$$

Die Übergangsfunktionen müssen auch die Cocycle-Bedingung bei dreifachen Überlappungen erfüllen,$g_{ij}g_{jk}g_{ki} =1$. Dies ist der erste Begriff einer Pegeltransformation, der lokale Pegelfelder auf überlappenden Diagrammen in Beziehung setzt.

Zweitens gibt es einen Begriff der Äquivalenz der Eichmaße im Raum der Verbindungen. Zwei Anschlüsse$\{ A_i, g_{ij} \}$Und$\{A_i',g_{ij}'\}$werden Eichäquivalente genannt, falls vorhanden$G$-bewertete Funktionen$h_i : U_i \to G$auf jedem Patch so definiert, dass

$$A_i' = h_i A_i h_i^{-1} + h_i \mathrm{d}h_i^{-1} ~~\text{and}~~ g_{ij}' = h_j g_{ij} h_i^{-1}\tag{2}$$

In Bezug auf die global definierte Verbindung 1-Form$\omega$An$P$, die lokalen Pegelfelder$\{A_i\}$werden durch Auswahl einer Sammlung von Abschnitten definiert$\{\sigma_i\}$auf jedem Patch von$M$. Die lokalen Pegelfelder erhält man durch Zurückziehen der globalen 1-Form,$A_i = \sigma_i^* \omega$. Bei überlappenden Patches sind solche Pullbacks durch (1) verbunden. Andererseits war die Auswahl der Abschnitte willkürlich; eine andere Sammlung von Abschnitten$\{\sigma'_i\}$verwandt mit dem ersten von$\sigma'_i = \sigma_i h_i$führt zur Eichäquivalenz (2).

Eine Karte gegeben$f: M \to M'$zwischen zwei Mannigfaltigkeiten und einem Bündel$P'$über$M'$, erhalten wir ein Bündel vorbei$M$durch Rückzug,$f^* P'$. Außerdem hängt das Pullback-Bündel nur von der Homotopieklasse ab$f$. Angenommen, wir haben eine kontrahierbare Mannigfaltigkeit$X$. Per Definition existiert eine Homotopie zwischen der Identitätskarte$\mathbf{1}:X \to X$und die triviale Karte$p: X \to X$die die gesamte Mannigfaltigkeit zu einem einzigen Punkt führt$p\in X$. Lassen$P$ein Bündel sein$X$. Der Identitäts-Pullback definiert natürlich das gleiche Bündel,$\mathbf{1}^* P = P$. Auf der anderen Seite der Pullback$p^* P$ist ein triviales Bündel; es bildet die gleiche Faser oben ab$p$zu jedem Punkt weiter$X$. Aber die Bündel$\mathbf{1}^*P$Und$p^*P$sind da gleichwertig$\mathbf{1}$Und$p$sind homotope Abbildungen. Daher ist ein Bündel über einem kontrahierbaren Raum notwendigerweise trivial (dh ein direktes Produkt).

Insbesondere ein$G$-Bündel vorbei$\mathbb{R}^4$ist trivial, ob$G$abelsch oder nicht abelsch ist. Die Titelseite$\cup_i U_i$hat ein einzelnes Diagramm,$\mathbb{R}^4$selbst. Es gibt ein einziges Spurweitefeld$A$, was eine global definierte ist$\mathfrak{g}$-bewertet 1-Form. Es wird aus der 1-Form erhalten$\omega$An$P$durch Rückzug,$A = \sigma^* \omega$, Wo$\sigma$ist ein global definierter Abschnitt. Einen anderen Abschnitt auswählen$\sigma' = \sigma g(x)$stellt eine lehrengleiche Verbindung her, bezogen auf$A$durch das oben angegebene übliche Eichtransformationsgesetz.

Für weitere Details siehe zB Nakahara "Topology, Geometry, and Physics", Kapitel 10.

Selbst in dem Fall, in dem die Raumzeit kontrahierbar ist, geschieht etwas Subtileres$\mathbb{R}^4$. Selbst in dieser trivialen Umgebung ist es normalerweise (aus physikalischen Gründen) erforderlich, dass die Verbindung, die man bildet, bei einem unendlichen Radius abfällt. Das ist

$$A(x) \to 0\text{ as } |x|\to\infty.$$ Wie die Antwort von user81003 bereits erwähnt hat, können wir nur die Verbindung 1-Form bis zur Eichgleichheit bestimmen, also die Bedingung, dass $A(x) \to 0$ist zu stark. Das Beste, was wir tun können, ist, das zu verlangen $$A(x) \to h(x) d h(x)^{-1}\text{ as }|x|\to\infty.$$ für eine Auswahl an $G$-bewertete Funktion $h(x)$(die nur definiert werden darf für $|x|$ausreichend groß).

Es gibt zwei Möglichkeiten zu interpretieren, wie dies zu topologisch nicht trivialen Bündeln führt. Der einfachere (und heuristischere) Weg ist zu sagen, dass diese Zerfallsbedingung die Wahl der Funktion bedeutet$h(x) : S^3 \to G$auf der Sphäre im Unendlichen. Diese "Randbedingung" sollte nur bis zur kontinuierlichen Verformung definiert werden, also interessieren wir uns wirklich nur für die Homotopieklasse von$h$, das ein Element von ist$\pi_3(G)$.

Eine alternative Sichtweise ist zu beobachten, dass die Bedingung, dass$A(x)$ist Gauge-äquivalent zu$0$bei unendlich bedeutet, dass wir den Punkt hinzufügen können$\infty$zu unserer Raumzeit-Mannigfaltigkeit und der Verbindung$A$wird bis zur Spurweite noch gut definiert sein. Das bedeutet, dass wir uns wirklich mit dem Auftraggeber befassen sollten$G$Bündel auf die Verdichtung von$\mathbb{R}^4$, welches ist$S^4$. Seit$S^4$nicht kontrahierbar ist, gilt es nicht mehr, dass alle Auftraggeber$G$Bündel sind trivial. Wie in der Antwort von user81003 erläutert, müssen wir jetzt trivialisierende Diagramme von auswählen$S^4$, die wir für die Scheiben halten können, die der nördlichen und südlichen Hemisphäre der Kugel entsprechen (jeweils etwas verlängert, sodass sie sich überlappen). Der Schnittpunkt dieser Diagramme ist der Äquator multipliziert mit einem kleinen Intervall$S^3\times (-\epsilon, \epsilon)$, was homotopieäquivalent ist$S^3$. Die Übergangsfunktion auf dieser Überlappung

$$g_{12} : U_1\cap U_2 \simeq S^3 \to G$$ klassifiziert dann das Bündel. Auch dies ist nur bis zur kontinuierlichen Verformung definiert, so dass wir die Klasse des Prinzipals sehen $G$Bündel wird durch ein Element von bestimmt $\pi_3(G)$.

An dieser Stelle ist klar, dass die Eichgruppe einen Unterschied macht, ob es nichttriviale Bündel geben kann. Da zum Beispiel$U(1) \cong S^1$, das sehen wir auf jeder Karte$S^3 \to S^1$ist homotop zur konstanten Abbildung (mit anderen Worten,$\pi_3(S^1) = 0$), also gibt es noch keine nicht-trivialen$U(1)$Bündel an$\mathbb{R}^4$, auch wenn die Zerfallsbedingung berücksichtigt wird (wie user81003 sagte, bedeutet dies nicht, dass es keine Eichtransformationen gibt!). Wie auch immer, wenn$G = SU(2) \cong S^3$, dann sehen wir das$\pi_3(S^3) \cong \mathbb{Z}$(Die Ganzzahl zählt den Grad der Karte$S^3\to S^3$), also gibt es einige nicht triviale Möglichkeiten. Dies gibt eine topologische Interpretation für$SU(2)$Augenblicke an$\mathbb{R}^4$. Es gibt eine sehr kurze Diskussion darüber unter https://en.wikipedia.org/wiki/Instanton#Quantum_field_theory , aber vielleicht kennen andere bessere Referenzen.