Interpretation des Feldstärketensors in der Yang-Mills-Theorie

Klassischerweise ist die Eichfeldstärke eine Krümmung einer Verbindung, genauso wie der Riemann-Tensor. Seit$F^a_{\mu\nu}$in der adjungierten Darstellung der Eichgruppe lebt, kann man ein 4-Index-Objekt ganz analog zum Riemann-Tensor definieren:

Wo$f_c{}^a{}_b$sind die über definierten Strukturkonstanten

Modulofaktoren von$i$wenn Sie sie einfügen möchten. In jedem Fall das Objekt$\mathcal{F}^a{}_{b\mu\nu}$enthält Informationen über parallelen Transport um infinitesimale Schleifen, im gleichen Sinne wie der Riemann-Tensor. Aber der zu verschiebende Vektor ist kein Tangentenvektor; Stattdessen ist es ein Vektor im Eichraum (oder "inneren" Raum), dessen Komponenten durch Erweiterung in den Generatoren definiert werden$t_a$, wie in$V = V^a \, t_a$.

So,$\mathcal{F}^a{}_{b\mu\nu}$beschreibt die Veränderung$V = V^a \, t_a$da es parallel transportiert wird (über die kovariante Ableitung$D_\mu \equiv \partial_\mu + A_\mu$, wieder Modulo-Faktoren von$i$, usw.) um ein kleines Parallelogramm in den Richtungen$\partial_\mu, \partial_\nu$.

Hier sind einige "Motivationen", um die Krümmung eines Pegelfeldes zu berücksichtigen. Denken Sie jedoch daran, dass der Begriff der „physikalischen“ Motivation in nicht-abelschen Eichtheorien etwas vage ist und dass „es stimmt mit Elektromagnetismus im abelschen Fall überein“ wirklich schon eine ziemlich starke Motivation ist – natürlich wollen wir die nicht- Abelsche Theorie zur Reduktion auf Elektromagnetismus im abelschen Fall.

1. Wir möchten, dass ein messerinvariantes Objekt in der Aktion verwendet wird. Nehmen Sie das Messfeld$A$selbst oder Spuren davon funktioniert nicht, da die zusätzliche$g\mathrm{g}^{-1}$Begriff unter Eichtransformationen verdirbt die Invarianz der Spur unter dem$gAg^{-1}$. Da das Eichfeld eingeführt wurde , um eine kovariante Ableitung zu haben, scheint es natürlich zu versuchen, die kovariante Ableitung davon zu nehmen. Tatsächlich finden wir das$\mathrm{d}_A A = \mathrm{d}A + A\wedge A = F$verwandelt sich als$F\mapsto gFg^{-1}$unter Eichtransformation, so dass das Nehmen seiner Spur ein eichinvariantes Objekt ergibt, das wir verwenden können, um eine eichinvariante Aktion zu erstellen.

2. Es ist die infinitesimale Holonomie. Dies ist das Ambrose-Singer-Theorem : in Verbindung mit seinem Begriff des parallelen Transports, der Holonomie um einen geschlossenen Pfad, oft symbolisch als Pfad-geordnetes Integral geschrieben$\mathcal{P}\mathrm{e}^{\oint A}$, ist ein weiteres zu berücksichtigendes natürliches und eichinvariantes Objekt. Es ist physikalisch relevant, da die Erwartungswerte der Wilson- und Polyakov-Schleifen kaum mehr als der Erwartungswert der Holonomie entlang dieser Schleifen sind, und wenn Sie eine solche Schleife verkleinern, stellen Sie fest, dass der Wert der Holonomie durch den Wert von gut angenähert wird die Krümmung innerhalb der Schleife. Im Grunde genommen ist dies das, was an der Krümmung "gekrümmt" ist - es sagt Ihnen, wie stark der parallele Transport um eine infinitesimale Schleife ausgehend von einem Punkt von der Identität, dh dem "flachen" Raum, abweicht.