Kubischer Begriff in Eichtheorien

Sie können sicherlich eine Lagrange-Funktion mit aufschreiben$F^2$Und$F^3$Terme, und sie werden beide zu den Amplituden auf Baumebene beitragen, an denen drei (nicht-abelsche) Eichbosonen beteiligt sind. (Du könntest auch zusätzliche Terme mit vier oder mehr Faktoren von schreiben$F_{\mu\nu}$, aber die Kinematik verhindert, dass sie zur Amplitude des Drei-Gauge-Bosons beitragen.)

Sie könnten erwarten, so etwas wie Ihr zu sehen$F^3$Begriff zeigen sich in einer niederenergetischen Wirkung. Das Zählen der Potenz zeigt jedoch, dass dieser Operator die Dimension sechs hat, sodass sein Koeffizient in der effektiven Aktion im Allgemeinen einen Faktor trägt$\sim 1/M^2$, Wo$M$ist die Skala der neuen Physik. Die effektive Wirkung ist erst bei Energien weit unterhalb dieser Größenordnung sinnvoll, so die$F^3$Die Beiträge des Operators zu den Amplituden werden in Systemen, in denen Sie Ihrer Theorie vertrauen können, stark unterdrückt. Bei ausreichend hohen Energien können sie relevant sein, aber Ihre effektive Aktion gibt Ihnen nicht wirklich Hinweise darauf, wie die Physik in diesen Maßstäben aussieht - es können andere Beiträge aus der neuen Physik usw.

user1504 hat bereits in Bezug auf die Renormalisierung erklärt. Hier möchte ich eine Idee auf einen anderen Aspekt werfen – warum Lagrangians, die Sie in der realen Physik sehen, immer eine quadratische Abhängigkeit in der Geschwindigkeit haben, dh$L\sim \dot{x}^2$oder$\mathcal{L}\sim \dot{\phi}^2$.

Lassen Sie uns über einfache Quantenmechanik sprechen, dh es wird von Dingen gesprochen$(x, p; t)$, und keine Verbindungen wie$A$(obwohl ich verstehe, dass Ihr ursprünglicher Beitrag ungefähr war$A$, Lol).

Um den kanonischen Quantisierungsformalismus mit dem Pfadintegralformalismus zu verbinden, müssen wir die "Hamiltonsche Version des Pfadintegrals" gleichsetzen.$\int \mathcal{D}x \, \mathcal{D}p \ e^{i\int(pdx-Hdt)}$, zur allgemein verwendeten "Lagrange-Version des Pfadintegrals",$\int \mathcal{D}x \ e^{i\int L dt}$. Die Sache ist, dass diese beiden Amplituden im Allgemeinen nicht gleich sind; Sie sind in der realen Physik gleich, weil$H\sim p^2$, dh$L\sim \dot{x}^2$(Siehe Polchinski-Anhang oder Peskin-Kap. 9 usw. Der Grund dafür ist im Grunde, dass wir im Pfadintegral nur Gauß-Integral und Taylor-Entwicklung durchführen können; jetzt die$e^{p^2}$Integration vorbei$\mathcal{D}p$ergibt eine unwichtige Konstante).

Es ist schwer zu sagen, ob dies ein "intrinsischer" Grund ist, warum$L\sim \dot{x}^2$. Aber es scheint eine wichtige Tatsache zu sein, die wir verwenden, um den Hamiltonschen Formalismus schön mit dem Lagrangeschen Formalismus in Beziehung zu setzen.

Dieser Begriff, den Sie aufschreiben, ist im Sinne der Renormierungsgruppe irrelevant. Wenn es in der Lagrange-Funktion vorkommt, die die Kurzstreckenphysik beschreibt, wird es fast nichts zu den Korrelationsfunktionen von Fernobservablen beitragen. Sein Beitrag sollte proportional zum Quadrat sein$\frac{s\mbox{short distance scale}}{\mbox{long distance scale}}$.

Ich würde sagen, dass wie die meisten Gleichungen in der Physik die von einem Lagrange abgeleiteten Bewegungsgleichungen von zweiter Ordnung sein müssen. Das könnte ein ganz natürlicher Grund sein, Terme mit Derivaten höherer Ordnung zu vermeiden.

Es lohnt sich, darauf hinzuweisen:

• die Differentialgleichungen zweiter Ordnung sichern die Kausalität.

• Obwohl es möglich ist, einen Lagrange-Operator mit mehr als zwei Ableitungen zu finden, deren eom diff zweiter Ordnung sind. Gl. (wie Lovelock Lagrangian für die Schwerkraft) sind nicht so einfach wie der kubische Begriff, den Sie beschrieben haben.

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