SU(N)SU(N)SU(N) Yang-Mills-Theorie

Question

SU(N)SU(N)SU(N) Yang-Mills-Theorie

Physik
Yang-Mühlen
Eichtheorie
Gruppentheorie
Tensorkalkül
Repräsentationstheorie

qftey

Die Yang-Mills-Theorie basiert auf der Eichgruppe $G$ wofür wir halten $SU(N)$ . Betrachten Sie ein Beispiel;

L = - \frac{1}{4} F_{μ v}^{A} F^{A μ v} - \sum_{J = 1}^{N} {\bar{ψ}}_{J} (ich γ^{μ} D_{μ} - M) ψ_{J}

$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F^a_{\mu\nu}F^{a\mu\nu}-\sum_{j=1}^N\bar{\psi}_j(i\gamma^\mu D_\mu-m)\psi_j$ Wo

ψ_{j}

$\psi_j$ ist ein Dirac-Spinor in der Fundamentaldarstellung.

Ab hier konzentriere ich mich also auf Algebren $\mathfrak{su}(N)$ . Eine Darstellung davon ist ein Lie-Algebra-Homomorphismus $\rho:\mathfrak{su}(N)\rightarrow \mathfrak{gl}(V)$ Und $V$ ist ein Vektorraum.

Ich verstehe, wie die Dinge in der fundamentalen Darstellung funktionieren, aber ich habe Probleme zu sehen, wie es funktioniert, wenn die Materiefelder auch in der adjungierten Darstellung sind. In diesem Fall werden die Felder jetzt durch dargestellt $N\times N$ Matrizen sowie, und es gibt $N^2-1$ Generatoren.

Also zum Beispiel, wenn ich ein skalares Feldmultiplett habe $\Phi$ Transformation in die adjungierte Darstellung, die ich habe

Φ = ϕ^{A} T^{A}

$\Phi=\phi^a T^a$ Wo

T^{a}

$T^a$ sind die Generatoren. Also habe ich

N^{2} - 1

$N^2-1$ Skalare Felder

ϕ^{a}

$\phi^a$ .

Aber im Fall von $\mathcal{N}=4$ $SU(N)$ Super Yang Mills Ich habe sechs Skalare. Es ist also leicht zu sehen, dass die Lagrange-Funktion ein Feldmultiplett aus sechs Komponenten hat $SO(6)$ Symmetrie, was es tut. Aber alle Felder wandeln sich immer noch in die adjungierte Darstellung von um $SU(N)$ . Ich sehe nicht, wie sich beispielsweise dieses Multiplett mit sechs Komponenten unter dem adjungierten Rep transformieren kann. Es sei denn natürlich, jede Komponente dieses Multipletts ist jetzt ein Feld, das sich in den adjungierten Rep umwandelt.

Im letzteren Fall verstehe ich nicht, wie man die Felder erweitert. Nehmen Sie zum Beispiel einen meiner sechs Skalare, $\phi_i(x)$ und erweitern $\phi_i^a(x)T^a$ . Was sind nun die $\phi_i^a(x)$ ? Die Vermutung wäre Skalare, aber das bedeutet, dass meine Theorie dies tatsächlich getan hat $6N^2-6$ Skalare statt 6. Vielleicht, wenn wir sagen ${\cal N}=4$ SYM hat 6 Skalare, wir meinen 6 skalare Feldmultipletts, die den adjungierten Rep transformieren?

Um es kurz zu machen; Wie werden Materiefelder in der adjungierten Repräsentation dargestellt?

Kosmas Zachos

Ja, deine letzten beiden Sätze sind genau richtig. Wenn Ihre Messgerätgruppe die Dimension 248 hat, haben Sie 248 x 6 Skalare.

qftey

@CosmasZachos Danke, jetzt verstehe ich. Ich nehme an, die Leute kümmern sich nicht darum, den Rang der Eichgruppe zu berücksichtigen, wenn sie die Anzahl der Freiheitsgrade von Fermionen und Bosonen berechnen, da sie sich aufheben, wenn sich alle Felder in den Adjungierten verwandeln. dann kommt es nur noch auf die Anzahl der Feldmultipletts an.

Kosmas Zachos

Tatsächlich pendelt susy mit der Eichgruppe, sodass sich alle Teilchen im Supermultiplet identisch transformieren. Da es hier Eichfelder gibt, müssen alle Teilchen adjungiert sein.

Antworten (1)

SU(N)SU(N)SU(N) Yang-Mills-Theorie

Ja, deine letzten beiden Sätze sind genau richtig. Wenn Ihre Messgerätgruppe die Dimension 248 hat, haben Sie 248 x 6 Skalare.
@CosmasZachos Danke, jetzt verstehe ich. Ich nehme an, die Leute kümmern sich nicht darum, den Rang der Eichgruppe zu berücksichtigen, wenn sie die Anzahl der Freiheitsgrade von Fermionen und Bosonen berechnen, da sie sich aufheben, wenn sich alle Felder in den Adjungierten verwandeln. dann kommt es nur noch auf die Anzahl der Feldmultipletts an.
Tatsächlich pendelt susy mit der Eichgruppe, sodass sich alle Teilchen im Supermultiplet identisch transformieren. Da es hier Eichfelder gibt, müssen alle Teilchen adjungiert sein.

QMechaniker · Answer 1

Es scheint, dass die Hauptfrage von OP darin besteht, wie die Darstellung der Materiefelder der YM-Theorie zu verstehen ist.

Die Materiefelder können prinzipiell in jede beliebige Darstellung transformieren $\rho:G\to {\rm End}(V)$ der örtlichen Spurweitengruppe $G=SU(N)$ , zB die fundamentale oder adjungierte Darstellung. Hier ${\rm End}(V)$ bezeichnet die Algebra der Endomorphismen im Vektorraum $V$ . Im Gegensatz dazu transformiert sich das Eichfeld immer in die adjungierte Darstellung.
Die Materiefelder können in bestimmten Fällen (zB in ${\cal N}=4$ SYM-Theorie) zusätzlich in eine Darstellung transformieren $R:H\to {\rm End}(W)$ einer starren Symmetriegruppe $H=SO(6)$ , zB die Fundamentaldarstellung $W\cong \mathbb{R}^6$ .
Insgesamt transformieren sich die Materiefelder in die Tensordarstellung $\rho \otimes R:G\times H \to {\rm End}(V\otimes W)$ der Produktgruppe $G\times H$ . Im Detail,
$\begin{matrix} (1) & (ρ \otimes R) (G, H) (\sum_{ich} v^{ich} \otimes w^{ich}) = \sum_{ich} ρ (G) v^{ich} \otimes R (H) w^{ich}, \end{matrix}$ $\tag{1} (\rho\otimes R)(g,h)(\sum_iv^i\otimes w^i)~=~\sum_i\rho(g)v^i\otimes R(h)w^i,$ Wo $\begin{matrix} (2) & G \in G, H \in H, v^{ich} \in v, w^{ich} \in W . \end{matrix}$ $\tag{2} g~\in~ G,\quad h~\in~ H,\quad v^i\in V ,\quad w^i\in W.$

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Kosmas Zachos

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