Sich schneidende Wilson-Schleifen in 2D-Yang-Mühlen

Betrachten Sie die endlichdimensionalen einheitlichen Darstellungen$\alpha,\beta,\gamma$der gegebenen kompakten Gruppe$G$auf entsprechenden Vektorräumen$V_1,V_2,V_3$. Lassen$|i\rangle_j,i=1,\dots,n_j$sei eine orthonormale Basis von$V_j$Wo$dim V_j=n_j$. Dann$\{|i\rangle_1\otimes|j\rangle_2\otimes|k\rangle_3\}$bildet eine orthonormale Basis von$V=V_1\otimes V_2 \otimes V_3$. Ein Element$g\in G$wirkt auf den Tensorproduktraum$V$als

$$|i\rangle_1\otimes|j\rangle_2\otimes|k\rangle_3 \to \alpha(g) |i\rangle_1\otimes\beta(g)|j\rangle_2\otimes \gamma(g)|k\rangle_3 \tag 1$$

Wir können auch eine orthogonale Basis finden$e_{\mu},\mu=1,\dots,N$(Wo$N=n_1n_2n_3$) von$V$relativ zu denen alle Elemente$g \in G$wirken als blockdiagonale Matrizen. Genauer gesagt nehmen wir in Bezug auf die Basis an$\{e_{\mu}\}$, die Wirkung eines Elements$g\in G$An$V$bezeichnet werden als

$$e_{\mu}\to \rho (g)e_\mu \tag 2$$ Dann $\rho(g)^{\nu}_{\mu}=\langle \nu|\rho(g)|\mu\rangle$ist eine blockdiagonale Matrix, in der die Dimensionen verschiedener Blöcke angegeben sind $^1$sind unabhängig von $g$. Lassen

$$|i\rangle_1\otimes|j\rangle_2\otimes|k\rangle_3=\sum_{\mu}\epsilon ^{\mu}_{ijk}e_{\mu}\tag 3$$

Handeln mit$g\in G$auf beiden Seiten dieser Gleichung gibt

$$\alpha (g)|i\rangle_1\otimes \beta (g)|j\rangle_2\otimes \gamma(g)|k\rangle_3=\sum_{\mu}\epsilon ^{\mu}_{ijk}\rho (g)e_{\mu} \tag 4$$

Nimmt man das Skalarprodukt mit$|i'\rangle_1\otimes |j'\rangle_2 \otimes |k'\rangle_3$und mit (3) erhalten wir

$$\alpha(g)^{i'}_{i}\beta (g)^{j'}_{j}\gamma(g)^{k'}_{k}=\sum _{\mu,\nu} \rho^{\nu}_{\mu}(g)\epsilon^{*\nu}_{i'j'k'}{\epsilon}^{\mu}_{ijk}\tag 5$$

Nun, nach dem Satz von Peter-Weyl (Teil 2) , Matrixelemente der irreduziblen Darstellungen von$G$bilden eine orthogonale Basis des Raums quadratisch integrierbarer Funktionen auf$G$wrt das innere Produkt

$$(A,B)=\int_G dg\; A(g)^{*}B(g) \tag 6$$

Wo$dg$ist das Haar-Maß. Wenn wir also beide Seiten von (5) integrieren, kommt der Nicht-Null-Beitrag auf RHS nur von dem Teil von$\rho$was eine direkte Summe von Identitätsdarstellungen ist. Mit anderen Worten, lass$W\subseteq V$sei der Unterraum von$V$auf welche$G$wirkt trivial, und lassen$\{e_1,\dots e_m\}\subseteq$ $\{e_1,\dots e_m,\dots,e_N\}$Grundlage sein$W$, dann ergibt die Integration von (5).

$$\int_G dg\;\alpha(g)^{i'}_{i}\beta (g)^{j'}_{j}\gamma(g)^{k'}_{k}=\sum _{\mu,\nu =1}^{m} \delta^{\nu}_{\mu}\epsilon^{*\nu}_{i'j'k'}{\epsilon}^{\mu}_{ijk}=\sum _{\mu =1}^{m}\epsilon^{*\mu}_{i'j'k'}{\epsilon}^{\mu}_{ijk} \tag 7$$

wo wir das vermutet haben$Vol(G)=\displaystyle\int_G\; dg =1$

Für den zweiten Teil Ihrer Frage würde ich diese Vorlesungsunterlagen empfehlen . Die Grundidee zur Berechnung der Mittelwerte der Wilson-Schleife lautet wie folgt:

Für eine Fläche mit Begrenzung hängt die Zustandssumme der zweidimensionalen Yang-Mills-Theorie von der Holonomie entlang der Begrenzung ab. Sei die Partitionsfunktion einer Gattungsfläche$h$und eine Grenze bezeichnet werden als$Z_h(U,ag^2)$Wo$U$ist die feste Holonomie entlang der gegebenen Grenze,$a$ist die Fläche der Oberfläche und$g$die Yang-Mills-Kopplungskonstante ist. Betrachten Sie nun die einfachste Situation, in der eine Wilson-Schleife auftritt$W$in Vertretung$R_W$wird entlang einer kontrahierbaren Schleife eingeführt$C$auf einer geschlossenen Gattungsfläche$h$, und Bereich$a$. Um den Durchschnitt der Wilson-Schleife zu berechnen, schneiden wir zuerst die Oberfläche entlang$C$, was eine Scheibe ergibt$D$der Fläche (sagen wir)$b$und eine andere Oberfläche$S$von Bereich$c=a-b$, Gattung$h$und eine Grenze. Jetzt wird der Durchschnitt der Wilson-Schleife durch Integration über gegeben$G$das Produkt von i) die Partitionsfunktionen von$D$ii) Zustandssumme von$S$und iii) die Spur der Wilson-Schleife in Darstellung$R_W$-

$$\langle W\rangle=\frac {1}{Z_h(ag^2)}\int \: dU \:Z_h(U,(a-b)g^2)\chi_{R_W}(U)Z_0(U^{-1},bg^2) \tag 8$$

Auch der Fall einer sich selbst schneidenden Wilson-Schleife ist nicht sehr anders.

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$^1$Die kleinsten Blöcke bilden irreduzible Darstellungen von$G$; Welche irreduziblen Darstellungen genau auftauchen, hängt davon ab$\alpha,\beta,\gamma$; Dieselben irreduziblen Darstellungen können auch mehr als einmal vorkommen