Ändert sich die Form des Fermionen-Multipletts mit der Darstellung der Eichsymmetrie?

Die kovariante Ableitung für ein Fermion mit einer Symmetriegruppe S U ( N ) wird von gegeben

(1) D v ψ = ∂ v ψ − ich G A v A T A ψ ,
Wo A v A ist ein Eichfeld, G ist eine Kopplungskonstante, T A ist ein Generator der Lie-Algebra S u ( N ) , und die Indizes A , B , ⋯ = 1 , 2 , ⋯ , N 2 − 1 .

Für Fermionen in der Fundamentaldarstellung gilt Gl. (1) kann geschrieben werden als

(2) D v ψ A = ∂ v ψ A − ich G A v A ( T A ) A B ψ B ,
wo die Indizes A , B = 1 , 2 , ⋯ , N . Also wenn N = 2 , das Fermion ψ kann vertreten werden durch
ψ = ( ψ 1 ψ 2 )

Aber für Fermionen in der adjungierten Darstellung die Generatoren ( T A ) B C = ich F A B C , welche sind 3 × 3 Matrizen im Fall von S U ( 2 ) . Die kovariante Ableitung kann geschrieben werden als

(3) D v ψ A = ∂ v ψ A − ich G A v A ( T A ) A B , ψ B .
Daher muss das Fermionenfeld dargestellt werden durch
ψ = ( ψ 1 ψ 2 ψ 3 ) .

Aber ich bin mir nicht sicher, ob das, was ich oben gesagt habe, richtig ist.

Antworten (2)

Ja alles was du geschrieben hast stimmt.

Definitionsgemäß ist eine Darstellung ein Vektorraum v einer bestimmten Dimension, auf die die Gruppe durch lineare Transformationen einwirkt ρ : G → G L ( v ) . Wenn wir sagen, dass ein bestimmtes Objekt wie z ψ „verwandelt sich in der Darstellung v “, dann meinen wir das ψ ist ein Element von v . Da also die fundamentale Darstellung von S U ( N ) ist der Raum C N mit S U ( N ) als die speziellen einheitlichen Matrizen fungieren, ψ im Grundton als seine Komponenten geschrieben werden ( ψ 1 , … , ψ N ) nach Wahl der Basis. Ebenso ist die adjungierte Darstellung durch die Lie-Algebra mit der Wirkung als adjungierte Wirkung gegeben – z S U ( N ) , es ist N 2 − 1 dimensional, so dass Sie nach einer Auswahl der Basis schreiben können ψ als seine Bestandteile ( ψ 1 , … , ψ N 2 − 1 ) .

Beachten Sie jedoch, dass die ψ ich selbst dürfen nicht bloße Zahlen sein, sondern Elemente von Repräsentationen anderer Gruppen. Ein Fermion ψ auch in eine Spin-Darstellung der Lorentz-Gruppe transformiert, also jede der ψ ich hat auch Lorentz-Komponenten ψ ich μ . Und möglicherweise noch mehr Indizes, wenn es weitere Gruppen gibt, unter denen es sich nicht trivial transformiert. Formal, wenn wir Gruppen haben G 1 , … , G k unter welchen ψ Transformationen in den Darstellungen v 1 , … , v k , es ist insgesamt ein Element des Tensorprodukts v 1 ⊗ ⋯ ⊗ v k .

Wenn Sie sagen, dass das Fermionenfeld ψ hat Lorentz-Komponenten, die mit gekennzeichnet sind μ , könnte es besser sein, Spinorkomponenten zu sagen, die mit zB gekennzeichnet sind A ? Ersteres lässt es wie einen Vierervektor klingen.

Sie haben Recht, und diese unterschiedlichen Darstellungen sind entscheidend für die Teilchenphysik. Um diese Gruppen und Algebren mit physikalischen Theorien "anzupassen", muss man eine bestimmte Darstellung annehmen, und diese definiert tatsächlich die Zustände, die sich entsprechend dieser Gruppe untereinander transformieren.

Zum Beispiel die S U ( 3 ) hat irreduzible Darstellungen der Dimension 1, 3, 6, 8 usw. Nehmen wir an, dass diese Gruppe mit der lokalen Farbsymmetrie verbunden ist. Wenn wir dann das Fermionfeld so wählen, dass es im Triplett (dreidimensional) liegt, bedeutet dies, dass sie in drei Zuständen erscheinen, blau, grün und rot, die durch Eichtransformationen gemischt werden. Diese Darstellung ist geeignet, Quarks zu beschreiben. Wenn wir andererseits das Fermionenfeld als Singulett von wählen S U ( 3 ) Farbe (eindimensional) wird es unter dieser Gruppe nicht transformieren, was physikalisch bedeutet, dass es nicht durch starke Wechselwirkungen interagiert. Dies kann also ein Lepton sein, wie das Elektron.

Ändert sich die Form des Fermionen-Multipletts mit der Darstellung der Eichsymmetrie?
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