Das 6-j-Symbol und sich schneidende Wilson-Schleifen, redux

Dies ist eine ziemlich spezifische Frage, die die Probleme fortsetzt, die ich mit der Berechnung des Erwartungswerts von sich schneidenden Wilson-Schleifen habe, die ich hier dargelegt habe . Mit den Werkzeugen aus der Antwort dort komme ich ziemlich schnell zu dem folgenden Ausdruck für den lokalen Faktor, der einem Scheitelpunkt zugeordnet ist, wo zwei Wilson-Schleifen mit Wiederholungen sind$\alpha_1$Und$\alpha_2$treffen, und wo die vier umliegenden Regionen Wiederholungen haben$\beta_1$Zu$\beta_4$:

$$G(\alpha_1,\alpha_2,\beta_{1,2,3,4})_{\mu\nu}^{\sigma\rho} := \epsilon_\mu^{ijk}(\alpha_1,\beta_1,\beta_4)\epsilon_\nu^{lmn}(\alpha_2,\beta_1,\beta_2){\epsilon^*}^\sigma_{ijk}(\alpha_1,\beta_2,\beta_3){\epsilon^*}^\rho_{lmn}(\alpha_2,\beta_3,\beta_4)$$

Die griechischen Indizes sind die aus der Zerlegung von Tensorprodukten as entstandenen Indizes$a^i \otimes b^j \otimes b^k = \epsilon_\mu^{ijk}e^\mu$, was zu integralen Ergebnissen wie führt

$$\int \alpha_i(V_b)^i_{i'} \beta_c(V_b)^j_{j'} \beta_{c'}(V_b)^k_{k'} \mathrm{d} V_b = {\epsilon^*}^\mu_{i'j'k'}\epsilon^{ijk}_\mu$$ (siehe vorherige Antwort ). Seit der $\epsilon^*$das hat die $\mu$dies wird mit Leben am entgegengesetzten Ende der (Teil-)Wilson-Linie summiert, die griechischen Indizes müssen notwendigerweise an den Scheitelpunkten offen bleiben. Ich finde es völlig in Ordnung, dass dies das Ergebnis der Berechnung ist, aber ich bin immer noch verwirrt, warum die Beziehung zum 6j-Symbol so beiläufig herumgeworfen wird.

Lassen Sie mich zunächst bemerken, dass die obige Gleichung bereits der allerersten Gleichung in der Definition von verdächtig ähnlich ist$6j$symbole , aber die freien Indizes irritieren mich. Wenn$\epsilon_\mu^{ijk}(\alpha_l,\beta_m,\beta_n)$ist der$3jm$Symbol (mit$i,j,k$die Rolle des spielen$m$und die entsprechenden Wiederholungen$j$), was ist der zusätzliche Index$\mu$hier machen? Wenn es das nicht ist$3jm$symbol (worüber ich gerade nachdenke), wozu dann das$G$oben definiert sein$6j$Symbol (und warum hat es freie Indizes)? (Wenn dies keines von beidem ist$3jm$noch$6j$Symbole, warum bestehen dann Witten, Ramgoolam, Moore usw. darauf, dass sie es sind?)

Notiere dass der$6j$Symbol kann nicht nach Summierung der griechischen Indizes entstehen, da die$G$s, zu denen der zweite Index gehört, befinden sich im Allgemeinen an anderen Scheitelpunkten und haben daher nicht genau die gleichen 6 Wiederholungen als Argumente.

Außerdem die$3jm$Symbole sind, wenn ich sie richtig verstehe, im Wesentlichen die Clebsch-Gordan-Koeffizienten zum Erweitern eines Tensorprodukts zweier irreduzibler Wiederholungen in eine dritte, und die$\epsilon$oben erweitern Sie das Tensorprodukt von drei irreduziblen Wiederholungen in allen möglichen Vierteln (die dann in Form der griechischen Indizes summiert werden).

Etwas passt hier nicht zusammen, und ich vermute stark, dass es nur in meinem Verständnis der Symbole liegt, also würde ich es wirklich schätzen, wenn jemand meine Verwirrung aufklärt.

BEARBEITEN :

Ok, ich glaube, ich habe etwas gefunden, aber ich bin noch weit davon entfernt, dieses Rätsel zu lösen, und es erfordert, genauer über die Koeffizienten nachzudenken$\epsilon^{ijk}_\mu$:

Lassen$\alpha,\beta,\gamma$seien Wiederholungen mit Basiselementen$a^i,b^j,c^k$wie vorher. Dann können wir das Tensorprodukt schrittweise statt auf einmal zerlegen als:

$$a^i \otimes b^j \otimes c^k = \sum_{\rho \subset \alpha \otimes \beta} C(\alpha,\beta,\rho)^{ij}_\zeta e(\rho)^\zeta \otimes c^k = \sum_{\rho \subset \alpha \otimes \beta} \sum_{\sigma \subset \rho \otimes \gamma} C(\alpha,\beta,\rho)^{ij}_\zeta C(\rho,\gamma,\sigma)^{\zeta k}_\mu e(\sigma)^\mu$$

(Ich entschuldige mich für die Fülle an Symbolen, aber es wird wirklich klarer, was so passiert.)

Hier das$C(j_1,j_2,j_3)$sind jetzt offensichtlich Clebsch-Gordan-Koeffizienten für$j_1,j_2$In$j_3$, und damit wesentlich$3jm$Symbole und die Notation$\rho \subset \alpha \otimes \beta$bedeutet, dass die irreduzible rep$\rho$tritt als Subrep in auf$\alpha \otimes \beta$. Da die Clebsch-Gordan-Koeffizienten für Wiederholungen, die nicht in einem gegebenen Tensorprodukt vorkommen, Null sind, können wir die Beschränkung auf die Summen aufheben und über alle irreduziblen Wiederholungen summieren. Daher,$\epsilon^{ijk}_\mu = \sum_\rho C(\alpha,\beta,\rho)^{ij}_\zeta C(\rho,\gamma,\sigma)^{\zeta k}_\mu$.

Nun, im obigen Integralergebnis, nach dem Peter-Weyl-Theorem (siehe auch vorherige Antwort), die$\epsilon$werden nur über die summiert$\mu$Zugehörigkeit zu trivialen Unterreps von$\alpha \otimes \beta \otimes \gamma$, dh$\sigma = 0$, wenn wir den trivialen rep mit bezeichnen$0$analog zu$j = 0$im Spinfall. Daher haben wir, dass das Ergebnis des Integrals ist

$$I := \int \alpha(g)^i_{i'}\beta(g)^j_{j'}\gamma(g)^k_{k'} = \left(\sum_\rho C(\alpha,\beta,\rho)^{ij}_\zeta C(\rho,\gamma,0)^{\zeta k}_\mu C^*(\alpha,\beta,\rho)_{i'j'}^\eta C^*(\rho,\gamma,0)_{\eta k'}^\mu\right)$$

Aber die triviale irreduzible Rep hat nur eine Dimension, also die Summe über die$\mu$ist nur die Vielfalt$n(\rho,\gamma,0)$von$0$In$\rho \otimes \gamma = \bigoplus_\sigma n(\rho,\gamma,\sigma)\sigma$, dh

$$I = \sum_\rho n(\rho,\gamma,0)C(\alpha,\beta,\rho)^{ij}_\zeta C(\rho,\gamma,0)^{\zeta k} C^*(\alpha,\beta,\rho)_{i'j'}^\eta C^*(\rho,\gamma,0)_{\eta k'}$$

Damit ist das Ärgerliche weg$\mu$, würde zu der führen$G$vom Anfang der Frage aus der Summe über ein Produkt von 8 bestehen$3jm$Symbole (die$C(\alpha,\beta,\gamma)$), von denen jeweils 4 über ihre summiert werden$m$Indizes, die das Produkt von zwei ergeben$6j$Symbole über einem ihrer summiert$j$s (die$\rho$). Auch die Indexstruktur in$e^{ijk}e^*_{ijk}$In$G$würde zu einer Indexstruktur des übersetzen$C$genau passend zu dem der$3jm$in einem$6j$Symbol.

Aber bevor ich das ausarbeite, kann mir jemand sagen, ob dies der richtige Weg ist oder ob ich auf dem Weg etwas geschlachtet habe (ich fühle mich mit meinen Fähigkeiten noch nicht wohl genug, um meiner Argumentation voll und ganz zu vertrauen, wenn sie mich zu einer Antwort führt, deren Form ich bin weiß schon)? Oder soll ich das vielleicht zu den Mathematikern bringen, da die Antwort bisher rein gruppentheoretisch zu sein scheint?