Funktionale Ableitung der Holonomie

Question

Funktionale Ableitung der Holonomie

Physik
Yang-Mühlen
Wilson-Schleife
Eichtheorie
Gruppentheorie
funktionale Ableitungen

kηives

Ich würde gerne wissen, wie man die funktionale Ableitung der Holonomie oder Wilson-Linie nimmt. Ich habe es versucht und werde im Folgenden zeigen, was ich gemacht habe, aber vorher wollte ich sagen, dass ich dies auch mit der charakteristischen Differenzialgleichung für die Holonomie gesehen und gemacht habe

\frac{\partial U}{\partial S} + {\dot{γ}}^{A} A_{A} U = 0

$\frac{\partial U}{\partial s}+\dot{\gamma}^a A_{a} U=0$ mit

\dot{γ}

$\dot{\gamma}$ ein Tangentenvektor an die Kurve und

A

$A$ die Verbindung. Durch Variieren dieser Gleichung kann ich was finden

\frac{δ U}{δ A}

$\frac{\delta U}{\delta A}$ ist, aber ich würde gerne wissen, wie man es aus dem Ausdruck für macht

U

$U$

U = P \exp [- \int_{γ} {\dot{γ}}^{A} (S) A_{A} (γ (S)) D S]

$U=\mathcal{P}\exp \left[ -\int_{\gamma} \dot{\gamma}^a(s) A_a(\gamma(s)) ds \right]$ mit

{\dot{γ}}^{a} = \frac{d x^{a}}{d s}

$\dot{\gamma}^a=\frac{dx^a}{ds}$ wie vorher. Nun habe ich versucht, dies direkt in Bezug auf zu variieren

A_{b}

$A_b$

\frac{δ U}{δ A_{B} (X)} = P \exp [- \int_{γ} {\dot{γ}}^{A} A_{A} D S] \cdot \frac{δ}{δ A_{B}} [- \int_{γ} {\dot{γ}}^{A} A_{A} D S] .

$\frac{\delta U}{\delta A_b(x)}=\mathcal{P} \exp \left[ -\int_{\gamma} \dot{\gamma}^a A_a ds \right] \cdot \frac{\delta}{\delta A_b}\left[ -\int_{\gamma} \dot{\gamma}^a A_a ds \right].$ Wenn jetzt

A_{a} = A_{a}^{i} τ^{i}

$A_a=A_{a}^{i}\tau^i$ Dann

\frac{δ}{δ A_{B}^{ich}} [- \int_{γ} {\dot{γ}}^{A} A_{A}^{J} τ^{J} D S] = - \int_{γ} {\dot{γ}}^{A} δ_{A B} δ_{ich J} δ^{3} (γ (S) - X) τ^{J} D S = - \int_{γ} {\dot{γ}}^{B} δ^{3} (γ (S) - X) τ^{J} D S .

$\frac{\delta}{\delta A_{b}^i }\left[ -\int_{\gamma} \dot{\gamma}^a A_{a}^j \tau^j ds \right]=-\int_{\gamma} \dot{\gamma}^a \delta _{ab}\delta_{ij} \delta^3(\gamma(s)-x) \tau^j ds=-\int_{\gamma}\dot{\gamma}^b \delta^3(\gamma(s)-x) \tau^j ds.$ Also schließe ich mit

\frac{δ U}{δ A_{B}^{J}} = U (γ) [- \int_{γ} {\dot{γ}}^{B} δ^{3} (γ (S) - X) τ^{J} D S]

$\frac{\delta U}{\delta A_{b}^j}=U(\gamma)\left[ -\int_{\gamma}\dot{\gamma}^b \delta^3(\gamma(s)-x) \tau^j ds \right]$ Was nicht stimmt. Kann mich jemand in eine bessere Richtung weisen.

Antworten (2)

Funktionale Ableitung der Holonomie

QMechaniker · Answer 1

Schreiben wir die Wilson-Linie einer einfachen offenen Kurve $\gamma: [s_i,s_f]\to \mathbb{R}^4$ als
$\begin{matrix} (1) & U (S_{F}, S_{ich}) = P \exp [ich \int_{γ} A_{μ} D X^{μ}] . \end{matrix}$ $U(s_f,s_i) ~=~ \mathcal{P}\exp \left[ i\int_{\gamma} A_{\mu}~ dx^{\mu} \right].\tag{1}$
Die Pfadordnung $\mathcal{P}$ wird wichtig, wenn das Eichpotential
$\begin{matrix} (2) & A_{μ} = A_{μ}^{A} T_{A} \end{matrix}$ $A_{\mu}~=~A^a_{\mu} T_a\tag{2}$ ist nicht abelsch. Hier $T_a$ sind die Generatoren der entsprechenden Lie-Algebra.
Die Wilson-Linie hat gruppoide Eigenschaften, z.
$\begin{matrix} (3) & U (S_{3}, S_{2}) U (S_{2}, S_{1}) = U (S_{3}, S_{1}), U (S, S) = 1 . \end{matrix}$ $U(s_3,s_2)U(s_2,s_1)~=~ U(s_3,s_1), \qquad U(s,s) ~=~ {\bf 1}.\tag{3}$
Differenziert man bzgl. der Schlusspunkt $s_f$ , bekommt man
$\begin{matrix} (4) & \frac{D U (S_{F}, S_{ich})}{D S_{F}} = ich {\dot{γ}}^{μ} (S_{F}) A_{μ} (γ (S_{F})) U (S_{F}, S_{ich}) . \end{matrix}$ $\frac {dU(s_f,s_i)}{ds_f} ~=~ i\dot{\gamma}^{\mu}(s_f)~A_{\mu}(\gamma(s_f)) ~U(s_f,s_i). \tag{4}$
Differenziert man bzgl. der Ausgangspunkt $s_i$ , bekommt man
$\begin{matrix} (5) & \frac{D U (S_{F}, S_{ich})}{D S_{ich}} = - U (S_{F}, S_{ich}) ich {\dot{γ}}^{μ} (S_{ich}) A_{μ} (γ (S_{ich})) . \end{matrix}$ $\frac {dU(s_f,s_i)}{ds_i} ~=~ -U(s_f,s_i)~i\dot{\gamma}^{\mu}(s_i)~A_{\mu}(\gamma(s_i)) . \tag{5}$
OP will die Wilson-Linie differenzieren $U(s_f,s_i)$ funktional bzgl. die Eichpotentialkomponenten $A^a_{\mu}(x)$ . Man bekommt
$\begin{matrix} (6) & \frac{δ U (S_{F}, S_{ich})}{δ A_{μ}^{A} (X)} = \int_{S_{ich}}^{S_{F}} D S U (S_{F}, S) ich {\dot{γ}}^{μ} (S) δ^{4} (X - γ (S)) T_{A} U (S, S_{ich}) . \end{matrix}$ $\frac {\delta U(s_f,s_i)}{\delta A^a_{\mu}(x)} ~=~\int_{s_i}^{s_f}\! ds~ U(s_f,s)~ i\dot{\gamma}^{\mu}(s)\delta^4(x-\gamma(s))T_a~U(s,s_i). \tag{6}$
Heuristischer Beweis von (6). Da haben wir den Brief schon benutzt $x\in\mathbb{R}^4$ in (6) als festen Raumzeitpunkt nennen wir einen beliebigen Raumzeitpunkt für $y\in\mathbb{R}^4$ .
- Stell dir das vor $\tilde{A}(y)=A(y)+\delta A(y)$ ist eine infinitesimale Variation des Eichpotentials $A(y)$ .
- Stell dir das vor $\delta A(y)$ nur in einer infinitesimal kleinen Umgebung von Null abweicht $\Omega$ des festen Raumzeitpunktes $x$ .
- Angenommen, die Kurve $\gamma$ schneidet die Nachbarschaft $\Omega$ im Parameterwert-Intervall $[s_x-\varepsilon,s_x+\varepsilon]\subseteq [s_i,s_f]$ . (Wenn die Kurve $\gamma$ schneidet die Nachbarschaft nicht $\Omega$ , dann wird die Gleichung (6) trivial richtig: $0=0$ .)
Einerseits ergibt sich eine solche infinitesimale Variation des Eichpotentials

$\begin{matrix} (7) & δ U (s_{f}, s_{i}) = U (s_{f}, s_{x} + ε) δ U (s_{x} + ε, s_{x} - ε) U (s_{x} - ε, s_{i}), \end{matrix}$
Und $\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} δ U (S_{X} + ε, S_{X} - ε) \approx & 2 ε ich {\dot{γ}}^{μ} (S_{X}) δ A_{μ} (γ (S_{X})) \\ = & \int_{Ω} D^{4} j δ^{4} (j - γ (S_{X})) 2 ε ich {\dot{γ}}^{μ} (S_{X}) δ A_{μ} (j) \\ \approx & \int_{Ω} D^{4} j \int_{S_{X} - ε}^{S_{X} + ε} D S δ^{4} (j - γ (S)) ich {\dot{γ}}^{μ} (S) δ A_{μ} (j) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\delta U(s_x+\varepsilon,s_x-\varepsilon)~\approx~&2\varepsilon i~ \dot{\gamma}^{\mu}(s_x)~\delta A_{\mu}(\gamma(s_x)) \cr ~=~&\int_{\Omega} \!d^4y~\delta^4(y-\gamma(s_x))~2\varepsilon i\dot{\gamma}^{\mu}(s_x)~\delta A_{\mu}(y)\cr ~\approx~& \int_{\Omega} \!d^4y~\int_{s_x-\varepsilon}^{s_x+\varepsilon}\! ds~\delta^4(y-\gamma(s))~i\dot{\gamma}^{\mu}(s)~\delta A_{\mu}(y).\end{align}\tag{8}$ Andererseits ergibt sich die definierende Eigenschaft eines funktionalen Derivats $\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} δ U (S_{F}, S_{ich}) = & \int_{R^{4}} D^{4} j \frac{δ U (S_{F}, S_{ich})}{δ A_{μ}^{A} (j)} δ A_{μ}^{A} (j) \\ = \int_{Ω} D^{4} j \frac{δ U (S_{F}, S_{ich})}{δ A_{μ}^{A} (j)} δ A_{μ}^{A} (j) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\delta U(s_f,s_i) ~=~&\int_{\mathbb{R}^4} \!d^4y~ \frac {\delta U(s_f,s_i)}{\delta A^a_{\mu}(y)} ~\delta A^a_{\mu}(y)\cr &~=~\int_{\Omega} \!d^4y~ \frac {\delta U(s_f,s_i)}{\delta A^a_{\mu}(y)} ~\delta A^a_{\mu}(y).\end{align}\tag{9}$ Ein Vergleich von Gl. (7), (8) und (9) ergibt Gl. (6).

Ich arbeite daran, wie ich klar sehen kann, dass die Holonomie an dem Punkt, an dem die funktionale Ableitung wirkt, in zwei Teile zerfällt. Ich überprüfe die Definition des geordneten Exponentials. Haben Sie einen Rat oder Hinweis darauf, wie wir diese Aufteilung sehen können? diese Definition? Danke.

Naima · Answer 2

Lewandowski, Newman und Rovelli gaben 1993 alle Einzelheiten in einem Artikel „Variationen des parallelen Propagators und Holonomieoperators und der Einschränkung des Gauss-Gesetzes“ an. Wir haben

D U (X (S), X_{ich}) / D S + \dot{γ} (S) A (S) U (X (S), X_{ich}) = 0 (1)

$d U(x(s),x_i)/ds + \dot \gamma (s)A(s) U(x(s),x_i) = 0 \ (1)$ Erträge differenzieren

D δ U (X (S), X_{ich}) / D S + \dot{γ} (S) A (S) δ U (X (S), X_{ich}) = - δ (\dot{γ} (S) A (S)) U (X (S), X_{ich})

$d \delta U(x(s),x_i)/ds + \dot \gamma (s)A(s) \delta U(x(s),x_i) = -\delta(\dot \gamma (s)A(s))U(x(s),x_i)$ Jetzt ist der Ansatz zu schreiben

δ U = U Λ

$\delta U = U \Lambda$ mit (1) haben wir:

U (X (S), X_{ich}) \dot{Λ} = - δ (\dot{γ} (S) A (S)) U (X (S), X_{ich})

$U(x(s),x_i) \dot \Lambda = -\delta(\dot \gamma (s)A(s))U(x(s),x_i)$ Da die Umkehrung von U(a,b) U(b,a) ist, müssen wir lösen

\dot{Λ} = - U (X_{ich}, X (S)) δ (\dot{γ} (S) A (S)) U (X (S^{'}), X_{ich})

$\dot \Lambda = - U(x_i,x(s))\delta(\dot \gamma (s)A(s))U(x(s'),x_i)$ Dann

δ U (x (s), x_{i}) = U (x (s), x_{i}) Λ =

$\delta U(x(s),x_i) = U(x(s),x_i) \Lambda =$

= U (X (S), X_{ich}) \int_{S_{ich}}^{S} U (X_{ich}, X^{'}) δ (\dot{γ} (S^{'}) A (S^{'})) U (X (S^{'}), X_{ich}) D S^{'}

$= U(x(s),x_i) \int^s_{s_i}U(x_i,x')\delta(\dot \gamma (s')A(s'))U(x(s'),x_i) ds'$

= \int_{S_{ich}}^{S} U (X (S), X^{'}) δ (\dot{γ} (S^{'}) A (S^{'})) U (X (S^{'}), X_{ich}) D S^{'}

$= \int^s_{s_i}U(x(s),x')\delta(\dot \gamma (s')A(s'))U(x(s'),x_i) ds'$ Wir erhalten eine Formel, die es uns ermöglicht, die Verbindung A oder die Kurve (eine Schleife ist ein Sonderfall) zu variieren. das Ergebnis wird als Pauli-Matrix oder etwas anderes zwischen den beiden Us gesehen. Es sieht aus wie die Ableitungsproduktregel. (abcd..)' = a'bcd.. +ab'cd.. + abc'd.. + abcd'.. + ...

Funktionale Ableitung der Holonomie

kηives

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QMechaniker

Saois

Naima

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