Normalerweise definiert man große Spurtransformationen als solche Elemente von das kann nicht reibungslos in die Identitätstransformation umgewandelt werden. Die Gruppe ist einfach verbunden und deshalb frage ich mich, warum es Transformationen gibt, die nicht mit der Identität verbunden sind. (Eine andere Möglichkeit, dies zu formulieren, besteht darin, zu sagen, dass große Spurtransformationen nicht aus infinitesimalen aufgebaut werden können.)
Ein explizites Beispiel für eine große Spurweitentransformation ist
Wie kann ich explizit sehen, dass es unmöglich ist, diese Transformation in die Identitätstransformation umzuwandeln?
Ich kann definieren
und gewiss
Damit habe ich eine glatte Karte gefunden das verwandelt in die Identitätstransformation. Inwiefern ist es also nicht mit Identitätstransformation verbunden?
Anders formuliert: inwiefern stimmt das und sind nicht homotop, obwohl die Karte existiert? Meine Vermutung ist, dass wir variieren von zu verlassen wir irgendwie den Zielraum , aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das sehen kann.
Wenn wir die große Eichtransformation als Exponential schreiben können, bedeutet dies nicht explizit, dass wir aus infinitesimalen eine endliche große Eichtransformation erhalten?
Gemäß diesem Artikel ist das bestimmende Merkmal von großen Eichtransformationen, dass die Funktion im Exponenten ist ist irgendwann singulär. Ist diese Singularität der Grund dafür, dass wir große Eichtransformationen nicht „überall“ in Identitätstransformationen umwandeln können? Und wenn ja, wie können wir das sehen?
Bearbeiten: Ich habe eine andere Idee aus diesem Papier . Dort stellen die Autoren fest, dass es nicht ausreicht, dass wir eine Karte finden , mit den oben genannten Eigenschaften, aber zusätzlich muss diese Karte die folgende Grenze haben
Edit 2: Wie oben erwähnt, gibt es nur keine glatte Karte dazwischen und , wenn wir uns auf die Eichtransformationen beschränken, die genügen
Das Geheimnis ist also, warum wir das tun. Anscheinend bin ich nicht der einzige, der darüber verwirrt ist, denn Itzykson und Zuber schreiben in ihrem QFT-Buch :
"Es gibt eigentlich kein sehr überzeugendes Argument, um diese Einschränkung zu rechtfertigen".
Eine Eichtheorie kann nicht rein lokal betrachtet werden, sie hat inhärent globale Eigenschaften, die man lokal nicht sehen kann. Die richtige mathematische Formalisierung einer Yang-Mills-Eichtheorie ist das Eichfeld ist eine Verbindung auf einem Hauptbündel über die Raumzeit . In der Praxis stellt sich jedoch heraus, dass die Physiker das eigentlich nicht wollen Raumzeit selbst zu sein, aber verdichtete Raumzeit .
Wir können dies am deutlichsten in der Konstruktion des BPST-Instantons auf Euklidisch sehen : Die eicheninvariante Spur der Feldstärke selbst geht als und ist überall wohldefiniert und fällt ins Unendliche ab. Aber wenn wir das damit verbundene Eichpotential betrachten , man findet es nicht überall wohldefiniert, so geht es , was Singular für ist , aber wohldefiniert für als , wo ist im Wesentlichen die Spurtransformation, die Sie in Ihrer Frage aufgeschrieben haben.
Also wollen wir als physikalisch zulässige Feldstärke, jedoch entsprechend ist nicht wohldefiniert auf . Die Bündelsicht kann uns nicht helfen, weil alle Bündel über dem euklidischen Raum trivial sind, das heißt muss immer global definiert werden . Wenn wir jedoch weitergehen als konforme Verdichtung von und einen der Pole mit "unendlich" und den anderen mit null identifizieren, dann werden nicht-triviale Bündel möglich, und wir erhalten zwei lokale Beschreibungen auf der nördlichen und südlichen "Hemisphäre", die wir normalerweise über die gesamte Sphäre mit Ausnahme einer einzigen erweitern können Punkt . Wenn die lokale Beschreibung von über die ganze Sphäre erstreckt, dann ist das Hauptbündel der Eichtheorie trivial.
Aber wir haben bereits dass das Spezifische gesehen wir wählten erstreckt sich nicht auf , und zwar die topologische Invariante ist ungleich Null, was bedeutet, dass das Bündel nicht trivial ist, was bedeutet kann sich nicht über die gesamte Sphäre erstrecken. Insbesondere ist es von Natur aus unmöglich , a zu finden das ist bei jedem wohldefiniert und hat eine wohldefinierte Grenze in Richtung Unendlich, die uns die BPST-Instanton-Lösung liefert .
Sie haben also genau zwei Möglichkeiten: Entweder müssen wir die Eichtheorie weiter betrachten anstatt , oder die BPST-Instantonen - eigentlich alle Instantonen - sind eigentlich keine erlaubten Lösungen der Eichtheorie. Die Standardphysik entscheidet sich für Ersteres angesichts der Instanton-Beiträge zu nachweisbaren Dingen wie der axialen Anomalie.
Nun, da wir wissen, dass wir ein Prinzipalbündel betrachten ist eine Eichtransformation ein fasererhaltender Automorphismus , und es kann vorkommen, dass diese nicht homotop zur Identitätskarte sind . Betrachten Sie als Spielzeugbeispiel die -bündeln , das ist der Torus, und die Eichtransformation , die die kanonische Einbettung übernimmt und wickelt es einmal um den Kreis . Da die Windungszahl eine Homotopie-Invariante ist, ist das Bild der als Pfad ist nicht homotop zur Quelle und daher ist diese Transformation nicht homotop zur Identität. Dies ist eine große Spurtransformation im eigentlichen mathematischen Sinne, wie sie im Wikipedia-Artikel definiert und beispielsweise in dieser Antwort von David Bar Moshe erörtert wird . Ich bin mir eigentlich nicht sicher, ob es "echte" Großspurtransformationen gibt in diesem Sinne, aber ich glaube, es gibt keine.
Da die formale Maschinerie der Hauptbündel fehlt, verwechselt der Physiker oft zwei verschiedene Objekte – die Eichtransformationen , die zu Funktionen absteigen in der lokalen Beschreibung und die Übergangsfunktion , die eichtransformationsähnliche Funktionen sind die das Bundle in der lokalen Beschreibung definieren und nicht global existieren. Beide und der bestimmte Kompatibilitätsbedingungen erfüllen, um global wohldefiniert zu sein.
Wenn der Physiker nun eine Eichtransformation vornimmt, betrachtet er normalerweise nur , was bedeutet, dass sie die Eichtransformation implizit auf die andere lokale Beschreibung setzen - die offene Menge herum - banal sein. Das sagt dann die Kompatibilitätsbedingung an . In der Ortsbeschreibung des Physikers ist diese Überlappung die Sphäre im Unendlichen , also das Verhalten der Eichtransformation als . Also die Bedingung, dass Das verwirrt Sie, Itzykon, Zuber und wahrscheinlich unzählige andere, ist nichts als die Bedingung, dass die , die in dieser lokalen Beschreibung angegeben ist, hebt sich tatsächlich zu einer richtigen Eichtransformation auf dem Bündel ab .
EIN der dies nicht tut, muss entweder durch seine entsprechende Transformation in der anderen lokalen Beschreibung ergänzt werden, oder er ändert das Bündel , dh der Physiker hat erklärt, dass er die Übergangsfunktion und damit (wahrscheinlich) das Bündel geändert hat. Die Bündel vorbei werden durch Karten klassifiziert "am Äquator", in perfekter Analogie zu -Bündel an wie in dieser Antwort von mir beschrieben . Und wie , dein wird eine Funktion
Demosthene