Spielen höhere Homotopiegruppen eine Rolle in der Eichtheorie?

Höhere Homotopiegruppen spielen in der Eichtheorie eine Rolle.

In vielen Fällen betrachten wir einen Raum oder eine verdichtete Raum-Raum-Zeit$M$mit kugelförmiger Topologie$S^n$. Für den Fall, dass unsere Eichtheorie auf einem trivialen Bündel definiert ist$P = S^n\times G$, die Gruppe der Eichtransformationen (Automorphismusgruppe des Hauptbündels) ist die Gruppe$\mathcal{G}=\mathrm{Map}(S^n, G)$von glatten Karten aus$S^n$Zu$G$. Homotopiegruppen können verwendet werden, um die Punkte dieses Raums, die Konfigurationen der Eichtransformation sind, topologisch zu klassifizieren. Hier haben wir die Identität:

$$\pi_m(\mathrm{Map}(S^n, G)) = \pi_{m+n}(G)$$ Beispiele:

1. Lassen Sie mich zunächst das in der Frage angegebene Beispiel betrachten

   $$\pi_0(\mathrm{Map}(S^3, G)) = \pi_3(G)$$ Somit bestimmt die Instantonzahl die Zusammenhangskomponente (also das Element von$\pi_0$) der Pegelkonfiguration vom Äquator$S^3$der Raumzeit (angenommen$S^4$).

2. Niedrigenergieeffektive Theorie der QCD in$4$Dimensionen (siehe Wittens globale Aspekte). In diesem Fall sind die Konfigurationen der Gruppe der Eichtransformation des (Geschmacks)$SU(3)$Werden die Nambu-Goldstone-Bosonen bei niedriger Energie, kann die Wirkung auf eine fünfdimensionale Mannigfaltigkeit ausgedehnt werden, deren Grenze die Raumzeit ist, weil$\pi_4(SU(3))=0$. Die nicht äquivalenten Quantisierungen werden dann klassifiziert durch$\pi_5(SU(3))$, was sich als die Anzahl der Farben der Farbgruppe herausstellt (die ansonsten in der Niederenergiebeschreibung fehlt, da alle Anregungen zur trivialen Farbdarstellung gehören).

3. Wittens $SU(2)$Anomalie, die die erste entdeckte globale Anomalie war. Hier ein$SU(2)$Eichtheorie über eine verdichtete Raumzeit$S^4$mit einer ungeraden Anzahl von Fermionarten ist anomal, weil$\pi_4(SU(2)) = \pi_0(\mathrm{Map}(S^4, SU(2)= \mathbb{Z}_2$. Bitte sehen Sie sich die Ausstellung von Catenacci und Lena an.

Fukui Fujiwara Hatsugai fand heraus, dass dieselbe Homotopiegruppe für die verantwortlich ist$\mathbb{Z}_2$invariante in Zeitumkehr invariante topologische Isolatoren. Hier die Gruppe$SU(2) \cong SP(1)$ist die Eichgruppe der induzierten Berry-Verbindung eines Kramer-Dubletts.

4. Die obigen Beispiele behandeln Materiefelder im Hintergrund von Yang-Mills-Feldern. Höhere Homotopiegruppen treten auch im Problem der Quantisierung reiner Yang-Mühlen auf. Hier, da der Raum aller Yang-Mühlen-Konfigurationen$\mathcal{A}$(einschließlich Eichkopien) kontrahierbar ist, impliziert die kurze homotopieexakte Sequenz, dass die Homotopiegruppen des Raums von eichunäquivalenten Verbindungen gegeben sind durch:

$$\pi_k(\mathcal{A}/\mathcal{G}) = \pi_{k-1}(\mathcal{G})$$ Die nicht äquivalenten Quantisierungen (Superauswahlsektoren) eines beliebigen Konfigurationsraums $\mathcal{M}$entspricht einer direkten Summe von $H^2(\mathcal{M})$das zählt Dirac magnetische Ladungen und $\mathrm{Map} (\pi_1(\mathcal{M}), U(1))$was Aharonov-Bohm-Flüssen entspricht. So im Fall von (Hamiltonian) Yang-Mühlen, die auf der Raummannigfaltigkeit definiert sind $S^3$, wir haben: $$\pi_2(\mathcal{A}/\mathcal{G}) = \pi_{1}(\mathcal{G}) = \pi_{1}(\mathrm{Map}(S^3, SU(N))) = \pi_4(SU(N))$$ was aber trivial ist: $$\mathrm{Map} (\pi_1(\mathcal{A}/\mathcal{G} ), U(1))= \mathrm{Map} (\pi_3(SU(N)) , U(1)) = \mathrm{Map} (\mathbb{Z} , U(1)) = \mathbb{R}/2 \pi\mathbb{Z}$$ (Entschuldigung, dass dieses Beispiel nur eine dritte Homotopiegruppe enthält), die Vertreter dieser inäquivalenten Darstellungen sind die $\theta-$Vakuum. Die Verallgemeinerung des Aharonov-Bohm-Flusses auf dieses unendlichdimensionale Quantisierungsproblem wurde von Wu und Zee als abelsche Eichstruktur geprägt. Es ist ein funktionales abelsches Eichfeld, das innerhalb des Konfigurationsraums von nicht-abelschen Yang-Mühlen lebt.