Was ist der Unterschied zwischen einer Eichtheorie mit Gruppe GGG und einer mit ihrer universellen Abdeckung?

(Diese Antwort bezieht sich auf die Yang-Mills-Theorie in 4 (euklidischen) Dimensionen und nicht auf Theorien im Allgemeinen, aber die Prinzipien sind allgemein und können auf jeden anderen Fall wiederholt werden.)

Störend:

Eine reine Eichtheorie ist notwendig und$\mathrm{Ad}G$, da sich die Eichfelder entsprechend der adjungierten Darstellung transformieren. Aber die Darstellungen der adjungierten Gruppe umfassen nur einen Teil der (integrierbaren) Darstellungen der entsprechenden Lie-Algebra. Zum Beispiel die Vertretung$\mathbf{3}$ist keine Darstellung von$\mathrm{Ad}SU(3)$. Somit kann die adjungierte Theorie an adjungierte Fermionen gekoppelt werden, aber keine fundamentalen Fermionen können in diese Theorie aufgenommen werden, ohne ihre Eichgruppe auf die universelle Abdeckung zu erweitern. Diese Tatsache ist beispielsweise entscheidend für die Symmetrie-Aufschlüsselungsmuster der Theorie und die Möglichkeit der Existenz von Monopolen, siehe meine Antwort auf die folgende PSE-Frage .

Nicht störend:

Die möglichen Eichfeldkonfigurationen (z. B. die in den Pfadintegralen enthaltenen) hängen von der Hauptbündelklassifikation mit der entsprechenden Eichgruppe ab. Diese Klassifikation ist für kompakt orientiert bekannt$4$Dimensionsmannigfaltigkeiten, siehe Vorlesung Nr. 13 der Eichtheorie- Vorlesungen von Ben Mares.

Diese Klassifizierung ist als Dold-Whitney-Theorem bekannt, das besagt, dass primäre kompakte einfache Gruppenbündel über kompakt orientierten Mannigfaltigkeiten klassifiziert werden durch:

1. Die Instanton-Zahl.
2. Der diskrete Magnetfluss von 't Hooft, der ein Element von ist$H^2(M, \pi_1(G))$.

(vorbehaltlich einer Konsistenzbedingung).

Beide Parameter hängen vom Zentrum der Gruppe ab; daher unterscheiden sie sich zwischen der Gruppe und ihrer universellen Abdeckung. Die Instantonzahl ist für nicht einfach verbundene Gruppen gebrochen, und der 't Hooft-Fluss hängt explizit vom Zentrum ab.