Messgruppentopologie

Unbedingt. Es gibt viele Umstände, unter denen die Topologie wichtige Implikationen für Eichtheorien hat.

Das vielleicht bemerkenswerteste Beispiel betrifft die Klassifizierung von Solitonen in einer Eichtheorie, die dem Higgs-Mechanismus unterzogen wurde. Wenn eine Messgerätegruppe$G$ist Higgsed zu einer Untergruppe$H$durch ein Skalarfeld$\phi$, kann man versuchen, stabile Feldkonfigurationen zu finden, die nicht kontinuierlich in die Vakuumkonfiguration verformt werden können (ohne unendlichen Energieaufwand). Für eine Feldkonfiguration endlicher Energie in$\mathbb{R}^{d-1}\times \mathbb{R}_\text{time}$,$\phi$muss zu einer Nullenergiekonfiguration an der Grenze des Raums asymptotisch werden. Dann$\phi$definiert eine Karte von einer unendlich großen Kugel im Weltraum$S^{d-2}$zu$G/H$. Diese Karten sind klassifiziert nach$\pi_{d-2}(G/H)$.

Das einfachste Beispiel erscheint im Abelschen Higgs-Modell in$2+1$Maße. Wir haben eine U(1)-Eichtheorie mit der Aktion

$$S = \int \mathrm{d}^3 x\, \left [ - \frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + |D_\mu \phi|^2 - V(|\phi|) \right],$$ mit $$V(|\phi|) = \frac{\lambda}{4} (|\phi|^2 - v^2)^2.$$ Die klassischen Minima treten z $|\phi| = v$, und die Eichsymmetrie ist vollständig Higgsed. Der Hamiltonian ist $$H = \int \mathrm{d}^2\mathbf{x} \left[\frac{1}{2} (E^2 + B^2)+ |D_i \phi|^2 + V(|\phi|) \right].$$ Gesucht wird eine Feldkonfiguration, die sich nicht kontinuierlich zur Vakuumlösung verformen lässt. Wenn die Konfiguration endliche Energie haben soll, $V(|\phi|)$muss im räumlichen Unendlichen auf Null gehen, also $|\phi|$herankommen muss $v$. Die Phase der $\phi$ist aber nicht fixiert $$\phi(r,\theta) \overset{r\to\infty}{\longrightarrow} v e^{i\sigma(\theta)}.$$ Daher, $\phi$definiert eine Abbildung vom Kreis im räumlichen Unendlichen zu U(1) und definiert so eine Klasse $[\phi]\in\pi_1(U(1))=\mathbb{Z}$. Diese Ganzzahl ist die Windungszahl der Karte $\phi$. Da sich eine ganze Zahl unter kontinuierlichen Verformungen von nicht kontinuierlich ändern kann $\phi$, kann eine Feldkonfiguration mit einer Windungszahl ungleich null nicht kontinuierlich in die Vakuumkonfiguration (die eine Windungszahl null hat) verformt werden. Man muss natürlich auch darauf achten, dass die restlichen Terme im Hamiltonoperator endlich sind. Danach kann man diese topologisch nicht triviale Feldkonfiguration bis zur Minimierung der Energie deformieren und dadurch eine stabile Feldkonfiguration erhalten, die nicht mit dem Vakuum verbunden ist. Dieses Soliton wird Wirbel genannt. Für weitere Details siehe zB Preskill, Lectures on Vortices and Monopoles .

Ich gebe eine andere, etwas abstraktere Beispielanwendung. Eine Eichtheorie mit Eichgruppe$G$über einer Raumzeit-Mannigfaltigkeit$M$wird mathematisch durch einen Prinzipal beschrieben$G$-bündeln$P$Über$M$,$G \to P \to M$. Ein solches Bündel wird nach charakteristischen Klassen in die Kohomologiegruppen eingeteilt$\left\{H^k(M,\pi_{k-1}(G))\right\}_{k=1}^{\dim M}$. Für eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit sind dies die Gruppen

$$H^1(M,\pi_0(G))\\ H^2(M,\pi_1(G))\\H^3(M,\pi_2(G))\\H^4(M,\pi_3(G)).$$ Lassen Sie die Messgerätgruppe verbunden sein, damit $\pi_0(G) = 0$und $H^1(M,\pi_0(G)) = 0$. Für jede Lie-Gruppe $G$, $\pi_2(G) = 0$, Also $H^3(M,\pi_2(G))$ist auch egal. Für alle klassischen Lie-Gruppen $\pi_3(G) = \mathbb{Z}$(ausser für $G = \mathrm{SO(4)}$). Dann die Klasse rein $H^4(M,\mathbb{Z})$gibt die Instanton-Nummer des Bündels an.

Endlich haben wir$H^2(M,\pi_1(G))$. Wenn die Messgerätegruppe nicht einfach verbunden ist ($\pi_1(G) \neq 0$) liefert eine Klasse in dieser Gruppe zusätzliche topologische Daten, die zur Spezifizierung der Eichtheorie über die übliche Instanton-Zahl hinaus erforderlich sind. Eine charakteristische Klasse in dieser Gruppe wird als diskreter magnetischer Fluss oder 't Hooft-Fluss der Eichtheorie bezeichnet. Für eine weitere Diskussion dieser Art von Ideen siehe z. B. Witten, Supersymmetric Index in Four-Dimensional Gauge Theories .