Impliziert die Existenz von Instantonen eine nicht-triviale Kohomologie der Raumzeit?

Erstens ist die Argumentation in der Frage nach Isomorphieklassen von Bündeln falsch, weil die$\check{H}^1(M,G)$aus dem verlinkten math.SE-Beitrag ist nicht die Kohomologie von$M$mit Koeffizienten in$G$, sondern eigentlich die Čech-Kohomologie von$M$für die Garbe$\mathscr{G} : U\mapsto C^\infty(U,G)$.

Dies hat jedoch tatsächlich einen Bezug zur Kohomologie von$M$selbst für$G = \mathrm{U}(1)$, über

$$0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{R} \to \mathrm{U}(1) \to 0$$ was sich verwandelt in $$0 \to C^\infty(U,\mathbb{Z})\to C^\infty(U,\mathbb{R}) \to C^\infty(U,\mathrm{U}(1))\to 0$$ seit $C^\infty(M,-)$bleibt exakt und man kann sich davon überzeugen, dass diese bestimmte Sequenz seit der Karte immer noch exakt ist $C^\infty(M,\mathbb{R})\to C^\infty(M,\mathrm{U}(1))$funktioniert nur durch dividieren $\mathbb{Z}$aus $\mathbb{R}$. Betrachtet man dies als Garbenfolge $0\to \mathscr{Z}\to \mathscr{R} \to \mathscr{G} \to 0$, $\mathscr{Z} = \underline{\mathbb{Z}}$zum $\underline{\mathbb{Z}}$die lokal konstante Garbe seit $\mathbb{Z}$ist diskret, und die Garbe glatter reellwertiger Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit ist aufgrund der Existenz von Partitionen der Einheit azyklisch, so dass man die Garbenkohomologie erhält $$\dots \to 0 \to H^1(M,\mathscr{G}) \to H^2(M,\underline{\mathbb{Z}})\to 0 \to \dots$$ und somit $H^1(M,\mathscr{G}) = H^2(M,\underline{\mathbb{Z}}) = H^2(M,\mathbb{Z})$wobei das letzte Objekt nur die übliche integrale Kohomologie von ist $M$. Somit, $\mathrm{U}(1)$Bündel werden in der Tat vollständig durch ihre erste Chern-Klasse klassifiziert, die physikalisch der (magnetische!) Fluss durch geschlossene 2-Zyklen und die Existenz von nicht trivial ist $\mathrm{U}(1)$-Bündel würden eine nicht-triviale zweite Kohomologie der Raumzeit (oder besser gesagt der Ein-Punkt-verdichteten Raumzeit) implizieren $S^4$da man in der Lage sein sollte, von der Feldkonfiguration "im Unendlichen" und dem im Unendlichen eingerahmten Bündel zu sprechen). In der Tat seit $H^2(S^4) = 0$, die Existenz von $\mathrm{U}(1)$-Instantonen würden der Idee widersprechen, dass Raumzeit ist $\mathbb{R}^4$.

Für allgemeine kompakte, verbunden$G$, stellt sich heraus, dass die möglichen Instantons ziemlich unabhängig von der Topologie von sind$M$weil ein generisches Instanton um einen Punkt herum lokalisiert ist, wie die BPST-Instantonkonstruktion zeigt, hat das Instanton ein Zentrum, und man kann sich die Chern-Simons-Form tatsächlich als einen "Strom" vorstellen, der aus diesem Punkt herausfließt und zu a führt nicht trivial$\int F\wedge F$.

Topologisch kann man dies verstehen, indem man sich etwas vorstellt$S^4$, und Geben eines Bündels durch Angabe der Eichfelder auf den beiden Halbkugeln, Kleben durch Angabe einer Eichtransformation auf der Überlappung der beiden, auf die geschrumpft werden kann$S^3$, dh das Bündel ist durch eine Karte gegeben$S^3\to G$, und die Homotopieklassen solcher Abbildungen sind die dritte Homotopiegruppe$\pi_3(G)$, welches ist$\mathbb{Z}$für semi-einfach kompakt$G$. Da kann der "Äquator" frei um den bewegt werden$S^4$, oder sogar beliebig nahe an einen Punkt geschrumpft, hängt diese Konstruktion tatsächlich nicht von den globalen Eigenschaften von ab$S^4$, es kann "um einen Punkt" gemacht werden.

Instantonen sagen uns also im Allgemeinen nichts über die Topologie der Raumzeit.

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Diese Antwort wurde von der PhysicsOverflow-Antwort auf dieselbe Frage geleitet.

Ich stimme vielem von dem zu, was Sie sagen, aber ich bin nicht einverstanden mit der Schlussfolgerung, die Sie ziehen: topologisch triviale Raumzeiten können keine nicht-trivialen G-Bündel unterstützen und haben daher keine Instantons. Die Existenz von Instantons sagt Ihnen also immer, dass die Raumzeit nicht trivial ist. Leute, die behaupten, dass Instantons existieren$\mathbb{R}^4$ignorieren den entscheidenden Punkt, dass wir, wenn wir fordern, dass die Feldkonfiguration im „Unendlichen“ verschwindet, eigentlich sagen, dass die Raumzeit eine Vierersphäre ist. (Genauer gesagt sagen wir, dass die Feldkonfiguration eine sein muss, die sich bis zu einer Viererkugel erstreckt, was für den Zweck der Berücksichtigung von G-Bündeln dieselbe ist).

Ich stimme zu, dass, wenn die Raumzeit eine Viererkugel oder eine Mannigfaltigkeit mit trivialer zweiter ganzzahliger Kohomologie ist, sie kein nicht-triviales Kreisbündel unterstützen kann und keine abelschen Instantons zulassen wird. Also ja, die Existenz eines abelschen Instantons würde implizieren, dass die Raumzeit eine nicht-triviale zweite Kohomologie hat.

Für eine nicht-Abelsche Eichgruppe behaupten Sie, dass die Möglichkeit, den Äquator beliebig nahe an einen Punkt zu schrumpfen, impliziert, dass die Konstruktion unabhängig von der globalen Topologie der Raumzeit ist. Nicht so. Sie beschreiben die Konstruktion der "Kupplungsfunktion" von Hauptbündeln über Kugeln (was bereits auf die sehr spezielle Topologie der Kugel verweist). Und der springende Punkt ist, dass Instantonladungen in Homotopiegruppen der Eichgruppe genau deshalb bewertet werden, weil Sie eine Karte haben können$S^3$zu Ihrer Spurgruppe mit einer nicht trivialen Windungszahl. Ja, Sie können den 'Äquator' verkleinern$S^4$beliebig nahe an einem Punkt, aber Sie können es nicht auf einen Punkt reduzieren. Die nicht triviale Windungszahl der Karte vom Äquator bis zur Eichgruppe kann niemals rückgängig gemacht werden, indem man einfach die Kopie der Kugel verkleinert. Eine lockere Art zu sagen, was die Wicklungszahl (Instanton-Ladung) ist, wäre „das Hindernis, diese Karte zu homotopieren$S^3 \to G$zu einer Karte$\{pt\} \to G$." (Denken Sie daran, wenn wir über Topologie sprechen, bedeutet das Schrumpfen einer Kugel "sehr nahe an einem Punkt" nichts - alles, was zählt, ist, ob die fragliche Karte auf das Innere der Kugel ausgedehnt werden kann und daher wirklich zu einem Punkt zusammengeschrumpft).

Wenn Sie Ihre Antwort sorgfältig lesen, werden Sie feststellen, dass sie eigentlich das Gegenteil behauptet: Instantonen können uns viel über die Topologie der Raumzeit erzählen. Bitte beziehen Sie sich auf das mathematische Gebiet der Donaldson-Theorie, wo das ganze Geschäft darin besteht, Invarianten von Vierermannigfaltigkeiten aus den Instanton-Modulräumen zu extrahieren.