Die "große" Spurweitentransformation fungiert in QFT nicht als Nichtstun-Transformation: Suche nach klassischem Analog

Die Eichsymmetrie in der klassischen reinen Yang-Mills-Theorie mit einem Eichfeld A μ erfordert eine Aktion S unter kontinuierlichen Transformationen invariant sein

A μ ( G ) → G ( A μ + ich ∂ μ ) G − 1
Wenn wir von quantisierter Theorie sprechen, haben wir es mit dem Hilbert-Strahlenraum zu tun | Ψ ( A μ ) ⟩ , die unter unitärer Transformation invariant sein muss U ( G ) :
(0) | Ψ ( A μ ) ⟩ → U ( G ) | Ψ ( A μ ) ⟩ = | Ψ ( A μ ) ⟩
Äquivalent für infinitesimale Transformation mit Generator G ( X ) man muss verlangen
G ( X ) | Ψ ( A μ ) ⟩ = 0
Dies reduziert den Hilbert-Raum, indem er auf einen Raum mit nur physikalischen Eichfeldpolarisationen projiziert wird. Aus diesem Grund wird die Eichsymmetrie als Do-Nothing-Transformation bezeichnet.

Als nächstes nehmen wir die "große" Eichtransformation an, deren Element G ( N ) trägt eine Windungszahl ungleich Null N . Wir haben das für den Vakuumzustand bei einer Windungszahlkonfiguration von Null | 0 ⟩

(1) U ( G ( N ) ) | 0 ⟩ = | N ⟩
Man kann a einführen θ -Vakuum definiert als
| θ ⟩ = ∑ N e ich N θ | N ⟩ ,
So
(2) U ( G ( N ) ) | θ ⟩ = e ich N θ | θ ⟩
Wir haben also, dass "große" Eichtransformationen keine Nichtstun-Transformationen sind; außerdem wirkt es auch nach dem Einführen des neuen Vakuums immer noch nicht trivial!

Meine Fragen sind:

  • ( 0 ) entspricht der Invarianz der Wirkung der klassischen Eichtheorie unter lokalen Eichtransformationen. Dem entspricht ( 1 ) ? Naiv denke ich, dass große Eichtransformationen den Tensor der Eichfeldstärke verändern, aber ich möchte dies formalisieren.

  • Schließlich, ob ein klassisches Analogon von ( 2 ) existiert? Ist diese Korrespondenz vollständig durch die Topologie der klassischen Eichfelder bestimmt?

Antworten (2)

Dass große Eichtransformationen keine echten Eichtransformationen sind (dh physikalisch unterschiedliche Zustände ergeben), ist ein reines Quantenphänomen aufgrund einer Wahl des Quantisierungsverfahrens, das in den Fällen vorhanden ist, in denen große Eichtransformationen vorhanden sind. Klassisch sind große Eichtransformationen immer Eichtransformationen, also trivial auf dem physikalischen Zustandsraum. Siehe auch diese Antwort von David Bar Moshe .

Die Sonderstellung großer Eichtransformationen ergibt sich im Wesentlichen daraus, dass das Quantisierungsverfahren für eine Eichtheorie lediglich vorschreibt, dass die Anwendung der Erzeuger von Eichtransformationen auf physikalische Zustände Null ergeben muss, die physikalischen Zustände also unter den von ihnen erzeugten Eichtransformationen invariant sind . Aber per Definition liefern die von den Generatoren erzeugten Transformationen nur die mit der Identität verbundenen Eichtransformationen (die Exponentialabbildung einer Lie-Algebra bildet auf die Zusammenhangskomponenten der entsprechenden Gruppe ab). Daher erzwingt das Quantisierungsverfahren von Natur aus nur eine Invarianz der Quantentheorie unter Transformationen mit kleiner Eichung.

Es gibt keinen guten Grund zu fordern, dass die Quantentheorie unter großen Eichtransformationen invariant sein soll, da bekannt ist, dass dasselbe klassische System verschiedene inäquivalente Quantisierungen haben kann, und die großen Eichtransformationen einfach die Transformationen zwischen diesen inäquivalenten Quantisierungen werden, was scheint physikalisch sinnvoll - angesichts einer klassischen Theorie sollte ihre vollständige Quantentheorie die "Summe" aller möglichen Quantisierungen sein.

Können Sie spezifizieren oder eine Referenz dafür angeben, wie "große Spurtransformationen einfach zu Transformationen zwischen diesen inäquivalenten Quantisierungen werden"? Wie kann es außerdem für die üblichen Eichgruppen (SU(2), SU(3)) Elemente geben, die nicht mit der Identität verbunden sind? Zum Beispiel ist SU(2) die Drei-Sphäre S 3 und daher ist es alles andere als offensichtlich, wie ein Punkt auf dieser Sphäre nicht mit dem Identitätselement verbunden werden könnte ...
@JakobH Siehe das Papier von Landsman, das in David Bar Moshes Antwort verlinkt ist. Die Gruppe, von der ich hier spreche, ist nicht die Eichgruppe, sondern die Gruppe der Eichtransformationen , die eine unendlich dimensionale Gruppe ist, die nicht verbunden werden kann, selbst wenn die Eichgruppe eine ist.

Einige der Originalpapiere auf θ vacua wies bereits darauf hin, dass sie keine klassischen Analoga haben. Die physikalischen Prozesse, die sie durch das Vakuummischen beschreiben, sind reines Tunneln, und das Tunneln durch eine Barriere existiert in der klassischen Dynamik nicht.

Die Auslegung des Tunnelbaus ist nur eines der Argumente, die von Bedeutung sind θ -Vakuum in reinen Eichtheorien aus physikalischer Sicht. Man kann dies auf andere Weise argumentieren, indem man verlangt, dass der Zustandsstrahl unverändert bleibt, wenn ein großer Transformationsoperator darauf einwirkt (bis zu einer Phase, die der Ursprung meiner Frage ist). Dabei arbeiten wir aber nur mit der klassischen Eichfeldtopologie. Und deshalb kann es ein klassisches Analogon dieser Varianz geben. Zum Beispiel eine glatte Deformation eines reinen Messgeräts, das zu einer Klasse gehört N zu dem gehörenden M .
@NameYYY Die Tatsache, dass zwischen dem ursprünglichen und dem transformierten Zustand eine Restphasendifferenz bestehen kann, ist an sich quantenmechanisch.
Aber was sagt es über die Eichsymmetrie als "Nichtstun"-Symmetrie aus? Und was ist mit meiner ersten Frage (über explizites klassisches Analogon der Spurweitenvarianz in ( 1 ) )?
@NameYYY Nun, die Idee Ihrer ersten Frage, dass große Spurtransformationen die Feldstärke ändern, ist nicht korrekt. Sie tun es nicht; sonst wären sie keine reinen Eichtransformationen. Darüber hinaus gibt es nichts zu sagen, denn klassischerweise wird der Zustand des Eichfeldes allein durch seine Feldstärke definiert; nur quantenmechanisch (weil Zustände mit gleicher Feldstärke, aber unterschiedlichen zugrunde liegenden Eichpotentialen unterschiedliche Phasen haben und somit interferieren können) spielen die reinen Eichmoden überhaupt eine Rolle.
aber man kann immer noch Konfigurationen des Eichpotentials definieren, auf denen der Stärketensor verschwindet. Nehmen Sie die Eichtransformation an A μ = 0 → A μ = G ∂ μ G − 1 , Wo G trägt nicht-triviale Windungszahl. Dies ist eine großspurige Transformation. Ist der Krafttensor F μ v unter dieser Transformation verändert; dh ist diese Transformation kontinuierlich (mit Nullkommutator [ ∂ μ , ∂ v ] G der Einfachheit halber)?
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