Eigenschaften der Messfeldumwandlung

Ich bin etwas verwirrt über die Eichtransformationseigenschaften von nicht-abelschen Eichfeldern und wollte nur eine Klarstellung. Ich sehe immer wieder die Aussage, dass "Eichfelder sich in der adjungierten Darstellung transformieren", aber ich habe meine Zweifel.

Wenn wir eine Theorie mit einer Eichsymmetrie haben, die einer einfachen, kompakten Lie-Gruppe entspricht$G$, dann definieren wir die kovariante Eichableitung$D_\mu$als:

$$D_\mu\equiv\partial_\mu-igA_\mu^aT^a$$

Wo$T^a\in\mathfrak{g}$bilden eine Grundlage der Lie-Algebra$\mathfrak{g}$von$G$. Diese Definition setzt keine Darstellung von voraus$T^a$, da dies durch die Darstellung des Feldes auf dem bestimmt wird$D_\mu$handelt. Dh wenn wir ein Feld hätten$\psi$die sich in eine Darstellung umwandelt$\Pi$einer einfachen, kompakten Lie-Gruppe$G$,$\psi\mapsto\Pi(g)\psi$, dann hätten wir:

$$D_\mu\psi=\big(\partial_\mu-igA^a_\mu \pi(T^a)\big)\psi$$

Wo$\pi(T^a)$ist die entsprechende Darstellung von$\mathfrak{g}$das veranlasst die Darstellung$\Pi(g)$nach Potenzieren. In diesem Fall fordern wir, dass die kovariante Ableitung der Eichung die gleichen Eichungstransformationseigenschaften wie hat$\psi$, nämlich$D_\mu\psi\mapsto\Pi(g)D_\mu\psi$für einige$g\in G$. Das bedeutet, dass wir Folgendes haben müssen:

$$D_\mu\mapsto\Pi(g)D_\mu\Pi^{-1}(g)$$

Frage 1) Ich weiß, dass sich Objekte, die sich in der adjungierten Darstellung transformieren , als transformieren$x\mapsto gxg^{-1}$. Dies ist offensichtlich diesem Ausdruck sehr ähnlich, aber ich glaube nicht, dass sie gleich sind. Ist es daher richtig, in diesem Fall zu sagen, dass$D_\mu$in die adjungierte Darstellung transformiert, oder besser gesagt, dass es "adjungiert" zu transformiert$\psi$?

Aus dem Ausdruck$D_\mu\mapsto \Pi(g)D_\mu \Pi^{-1}(g)$wir finden:

$$A^a_\mu\pi(T^a)\mapsto \Pi(g)\Big(A^a_\mu\pi(T^a)+\frac{i}{g}\partial_\mu\Big)\Pi^{-1}(g)$$

Wenn wir überlegen$\Pi(g)=\exp\Big(i\alpha^a(x)\pi(T^a)\Big)$, dann können wir für eine infinitesimale Transformation in erster Ordnung expandieren$\alpha$finden:

$$A^a_\mu\mapsto f^{abc}A^b_\mu\alpha^c+\frac{1}{g}\partial_\mu\alpha^a$$

Der erste Term in diesem Ausdruck erinnert an den adjungierten Rep der Lie-Algebra, also Frage 2) beziehen sich die Leute darauf, wenn sie sagen, dass sich das Eichfeld in den Adjungierten transformiert?

Tut mir leid, wenn es Fehler oder krasse Missverständnisse gibt, ich versuche nur, mich mit der Terminologie (und möglicherweise mit der Mathematik, wer weiß) vertraut zu machen.