Warum ist das Eichpotential AμAμA_{\mu} in der Lie-Algebra der Eichgruppe GGG?

Das Eichpotential ist ein Objekt, das, wenn es in die kovariante Ableitung eingeführt wird, die Terme aufheben soll, die die lineare Transformation des Feldes unter der Eichgruppe stören. Jede Spurveränderung$g:\Sigma\to G$(auf einer Raumzeit$\Sigma$) verbunden mit der Identität kann geschrieben werden als$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\chi(x)}$für einige Lie-Algebra geschätzt$\chi: \Sigma\to\mathfrak{g}$. Die Ableitung eines transformierten Feldes ist

$$\partial_\mu(g\phi) = \partial_\mu(g)\phi + g\partial_\mu\phi = g(g^{-1}(\partial_\mu g) + \partial_\mu)\phi$$ und es ist die $g^{-1}(\partial_\mu g) = \partial_\mu\chi$die wir hier aufheben wollen, indem wir das Gauge-Feld so hinzufügen $D_\mu(g\phi) = gD_\mu\phi$. Seit $\partial_\mu\chi$Ist die Lie-Algebra wertvoll, so muss auch das Eichfeld $A$wir fügen hinzu, und es muss als umwandeln $$A\overset{g(x)}{\mapsto} gAg^{-1} - g^{-1}\mathrm{d} g$$ um die Bedingungen zu stornieren, die wir stornieren möchten.