Eichkovarianz der Yang-Mills-Feldstärke FaμνFμνaF_{\mu\nu}^a

Question

Eichkovarianz der Yang-Mills-Feldstärke FaμνFμνaF_{\mu\nu}^a

Physik
Notation
Yang-Mühlen
Eichtheorie
Differenzierung
Eichinvarianz

Vicky

Entsprechend den Theorien von Yang-Mills ist nach der Einführung einer kovarianten Ableitung wie z

\begin{matrix} (1) & D_{μ} = \partial_{μ} - ich G A_{μ}, \end{matrix}

$D_\mu = \partial_\mu - igA_\mu, \tag1$

Sie können den kinetischen Term für das Eichpotential bilden $A_\mu$ als

\begin{matrix} (2) & L_{A} = - \frac{1}{2} T R {F_{μ v} F^{μ v}}, F_{μ v} = \frac{ich}{G} [D_{μ}, D_{v}] . \end{matrix}

${\cal L}_A = -\frac{1}{2}tr\{F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}\},\qquad F_{\mu \nu} = \frac{i}{g}[D_\mu, D_\nu]. \tag2$

Die Wirkung der kovarianten Ableitung transformiert sich unter einer lokalen Gruppentransformation $\Omega$ auf die folgende Weise:

\begin{matrix} (3) & D_{μ} ψ \to Ω D_{μ} ψ . \end{matrix}

$D_\mu\psi \rightarrow \Omega D_\mu\psi. \tag3$

Und das Messfeld als

\begin{matrix} (4) & A_{μ} \to Ω A_{μ} Ω^{†} + \frac{ich}{G} Ω \partial_{μ} Ω^{†} . \end{matrix}

$A_\mu \rightarrow \Omega A_\mu\Omega^\dagger + \frac{i}{g}\Omega\partial_\mu \Omega^\dagger . \tag4$

Einführung in Gl. (4) in Gl. (1) Sie erhalten, dass sich unter den Gruppentransformationen die kovariante Ableitung transformiert als

\begin{matrix} (5) & D_{μ} \to \partial_{μ} - ich G Ω A_{μ} Ω^{†} + Ω \partial_{μ} Ω^{†} = Ω D_{μ} Ω^{†} + \partial_{μ} . \end{matrix}

$D_\mu \rightarrow \partial_\mu - ig\Omega A_\mu\Omega^\dagger + \Omega\partial_\mu\Omega^\dagger = \Omega D_\mu\Omega^\dagger + \partial_\mu . \tag5$

Gl. (5) in die Definition des Krafttensors in Gl. (2) gibt

\begin{matrix} (6) & F_{μ v} \to Ω F_{μ v} Ω^{†} + \frac{ich}{G} (\partial_{μ} (Ω D_{v} Ω^{†}) - \partial_{v} (Ω D_{μ} Ω^{†})) . \end{matrix}

$F_{\mu\nu} \rightarrow \Omega F_{\mu\nu}\Omega^\dagger + \frac{i}{g}(\partial_\mu(\Omega D_\nu\Omega^\dagger) - \partial_\nu(\Omega D_\mu\Omega^\dagger)) . \tag6$

Nehmen $\Omega \simeq 1 - g\theta^iT^i$ , mit $\{T^i\}$ der Satz von Generatoren der Gruppe, $\theta^i \in \mathbb{R}$ Und $f^{ijk}$ die Strukturkonstanten:

\begin{matrix} (7) & F_{μ v} \to Ω F_{μ v} Ω^{†} + \frac{ich}{G} (\partial_{μ} A_{v}^{k} - \partial_{v} A_{μ}^{k}) T^{k} + ich G^{2} F^{A J k} T^{k} [\partial_{μ} (θ^{J} A_{v}^{A}) - \partial_{v} (θ^{J} A_{μ}^{A})] . \end{matrix}

$F_{\mu\nu} \rightarrow \Omega F_{\mu\nu}\Omega^\dagger + \frac{i}{g}(\partial_\mu A_\nu^k - \partial_\nu A_\mu^k)T^k + ig^2f^{ajk}T^k[\partial_\mu(\theta^jA_\nu^a) - \partial_\nu(\theta^jA_\mu^a)] . \tag7$

In Teilchenphysik-Büchern heißt es so

\begin{matrix} (8) & F_{μ v} \to Ω F_{μ v} Ω^{†}, \end{matrix}

$F_{\mu\nu} \rightarrow \Omega F_{\mu\nu}\Omega^\dagger \tag{8},$ aber das bekomme ich in meinem Kalkül nicht hin (Gl. (7)). Was mache ich falsch? Dieses Ergebnis ist wichtig, denn wenn

F_{μ ν}

$F_{\mu\nu}$ transformiert sich nicht, wie die Bücher sagen, der kinetische Term in Gl. (2) ist nicht eichinvariant.

Knzhou

Ihre Gleichung (5) sieht unglaublich seltsam aus - zum Beispiel für eine triviale Eichtransformation heißt es

D_{μ} \to D_{μ} + \partial_{μ}

$D_\mu \to D_\mu + \partial_\mu$ .

pppqqq

Beachten Sie, dass durch die Definition der kovarianten Ableitung die zweite Gleichheit im folgenden Transformationsgesetz:

D_{μ} (A) Ψ ⟶ D_{μ} (A^{Ω}) Ω Ψ = Ω D^{μ} (A) Ψ

$D_\mu(A)\Psi \longrightarrow D_\mu(A^{\Omega}) \Omega \Psi = \Omega D^\mu (A) \Psi$ hält. Ihre Gl. (5) ist in der Tat falsch.

Vicky

@pppqqq Ich verstehe nicht, was du meinst. Was Sie geschrieben haben, ist die Definition der kovarianten Ableitung, die das Eichfeld-Transformationsgesetz angibt, aber wie beweist es, dass meine Gl. (5) ist falsch?

Vicky

Eigentlich bekommt man das Eichfeldtransformationsgesetz geschrieben

D_{μ} (A^{Ω}) Ω ψ = Ω D_{μ} ψ

$D_\mu(A^\Omega) \Omega\psi = \Omega D_\mu\psi$ mit

D_{μ} (A^{Ω}) = \partial_{μ} - i g A_{μ}^{Ω}

$D_\mu(A^\Omega) = \partial_\mu - igA_\mu^\Omega$ , also sobald Sie wissen

A_{μ}^{Ω}

$A_\mu^\Omega$ (Gl. (4)) Sie kennen das Transformationsgesetz für die kovariante Ableitung, Gl. (5)

pppqqq

Die RHS Ihrer Gl. (5) ist das, was ich bezeichnet habe

D_{μ} (A^{Ω})

$D_\mu (A^\Omega)$ . Die Definition von

D_{μ}

$D_\mu$ ist so, dass:

D_{μ} (A^{Ω}) = Ω D_{μ} (A) Ω^{†}

$D_\mu(A^\Omega)=\Omega D_\mu (A) \Omega^\dagger$

Vicky

@knzhou Ich denke, dein Beispiel ist falsch, weil

Ω D_{μ} Ω^{†} = Ω (\partial_{μ} Ω^{†}) - i g Ω A_{μ} Ω^{†}

$\Omega D_\mu\Omega^\dagger = \Omega(\partial_\mu \Omega^\dagger) - ig\Omega A_\mu\Omega^\dagger$ (wie Sie aus Gl. (4) ableiten können), also unter trivialer Transformation

D_{μ} \to D_{μ}

$D_\mu \rightarrow D_\mu$

Knzhou

Das Problem ist, dass Sie frei ändern, worauf das Derivat wirkt. Manchmal nimmst du

\partial_{μ}

$\partial_\mu$ nur rechts unmittelbar zu seinem Recht zu handeln. In anderen Fällen nehmen Sie es, um auf alles nach rechts zu wirken. Um (5) zu erhalten, haben Sie die Bedeutung vertauscht, und in Ihrem vorherigen Kommentar haben Sie sie gleich wieder vertauscht.

Vicky

@knzhou Ich sehe nicht, wo ich die Bedeutung ändere. Ich leite Gl. (5) über Gl. (4) wobei die partielle Ableitung nur über wirkt

Ω^{†}

$\Omega^\dagger$ und wenn ich schreibe

Ω D_{μ} Ω^{†}

$\Omega D_\mu\Omega^\dagger$ es ist implizit, dass Sie dieses Element zuerst berechnen und es dann auf alles andere auf der rechten Seite anwenden müssen. Also habe ich die Bedeutung von nichts vertauscht oder zumindest sehe ich es nicht

Antworten (2)

Eichkovarianz der Yang-Mills-Feldstärke FaμνFμνaF_{\mu\nu}^a

Ihre Gleichung (5) sieht unglaublich seltsam aus - zum Beispiel für eine triviale Eichtransformation heißt es $D_\mu \to D_\mu + \partial_\mu$ .
Beachten Sie, dass durch die Definition der kovarianten Ableitung die zweite Gleichheit im folgenden Transformationsgesetz: $D_{μ} (A) Ψ ⟶ D_{μ} (A^{Ω}) Ω Ψ = Ω D^{μ} (A) Ψ$ $D_\mu(A)\Psi \longrightarrow D_\mu(A^{\Omega}) \Omega \Psi = \Omega D^\mu (A) \Psi$ hält. Ihre Gl. (5) ist in der Tat falsch.
@pppqqq Ich verstehe nicht, was du meinst. Was Sie geschrieben haben, ist die Definition der kovarianten Ableitung, die das Eichfeld-Transformationsgesetz angibt, aber wie beweist es, dass meine Gl. (5) ist falsch?
Eigentlich bekommt man das Eichfeldtransformationsgesetz geschrieben $D_\mu(A^\Omega) \Omega\psi = \Omega D_\mu\psi$ mit $D_\mu(A^\Omega) = \partial_\mu - igA_\mu^\Omega$ , also sobald Sie wissen $A_\mu^\Omega$ (Gl. (4)) Sie kennen das Transformationsgesetz für die kovariante Ableitung, Gl. (5)
Die RHS Ihrer Gl. (5) ist das, was ich bezeichnet habe $D_\mu (A^\Omega)$ . Die Definition von $D_\mu$ ist so, dass: $D_{μ} (A^{Ω}) = Ω D_{μ} (A) Ω^{†}$ $D_\mu(A^\Omega)=\Omega D_\mu (A) \Omega^\dagger$
@knzhou Ich denke, dein Beispiel ist falsch, weil $\Omega D_\mu\Omega^\dagger = \Omega(\partial_\mu \Omega^\dagger) - ig\Omega A_\mu\Omega^\dagger$ (wie Sie aus Gl. (4) ableiten können), also unter trivialer Transformation $D_\mu \rightarrow D_\mu$
Das Problem ist, dass Sie frei ändern, worauf das Derivat wirkt. Manchmal nimmst du $\partial_\mu$ nur rechts unmittelbar zu seinem Recht zu handeln. In anderen Fällen nehmen Sie es, um auf alles nach rechts zu wirken. Um (5) zu erhalten, haben Sie die Bedeutung vertauscht, und in Ihrem vorherigen Kommentar haben Sie sie gleich wieder vertauscht.
@knzhou Ich sehe nicht, wo ich die Bedeutung ändere. Ich leite Gl. (5) über Gl. (4) wobei die partielle Ableitung nur über wirkt $\Omega^\dagger$ und wenn ich schreibe $\Omega D_\mu\Omega^\dagger$ es ist implizit, dass Sie dieses Element zuerst berechnen und es dann auf alles andere auf der rechten Seite anwenden müssen. Also habe ich die Bedeutung von nichts vertauscht oder zumindest sehe ich es nicht

QMechaniker · Answer 1

Hinweis: Die Diskrepanz von OP scheint durch die inkonsistente Behandlung der Ableitungssymbole angespornt zu werden, dh wie weit wirken die Ableitungen nach rechts?/auf wie viele Objekte wirken die Ableitungen? Siehe diesen Phys.SE-Beitrag für ein ähnliches Problem. ZB OP's Gl. (5) ist richtig oder falsch, abhängig von der genauen Bedeutung der Ableitungen darin.

Vicky · Answer 2

Ok, ich glaube, ich habe die Antwort gefunden. Gl. (5) muss geschrieben werden als:

\begin{matrix} (A) & D_{μ} \to \partial_{μ} + Ω (\partial_{μ} Ω^{†}) - ich G Ω A_{μ} Ω^{†} \end{matrix}

$D_\mu \rightarrow \partial_\mu + \Omega(\partial_\mu \Omega^\dagger) - ig\Omega A_\mu\Omega^\dagger \tag{A}$

Wie Sie aus Gl. (4) das ist eine Folge des Auferlegens $D_\mu\psi \rightarrow \Omega D_\mu\psi$ . Trotzdem können Sie Gl. (A) als:

\begin{matrix} (B) & D_{μ} \to (Ω \partial_{μ}) Ω^{†} - ich G Ω A_{μ} Ω^{†} = Ω D_{μ} Ω^{†} \end{matrix}

$D_\mu \rightarrow (\Omega\partial_\mu)\Omega^\dagger - ig\Omega A_\mu\Omega^\dagger = \Omega D_\mu\Omega^\dagger \tag{B}$

Nach Überlegung,

\begin{matrix} (C) & (Ω \partial_{μ}) Ω^{†} = Ω (\partial_{μ} Ω^{†}) + Ω Ω^{†} \partial_{μ} = Ω (\partial_{μ} Ω^{†}) + \partial_{μ} \end{matrix}

$(\Omega\partial_\mu)\Omega^\dagger = \Omega(\partial_\mu \Omega^\dagger) + \Omega\Omega^\dagger\partial_\mu = \Omega(\partial_\mu \Omega^\dagger) + \partial_\mu \tag{C}$

Damit ergibt alles einen Sinn und der Krafttensor ist perfekt eichkovariant, wenn man Gl. (B)-(C) bei der Interpretation von Gl. (8).

Sie sollten dies als akzeptierte Antwort markieren, auch wenn Sie es selbst gelöst haben.
@Natanael Es gibt eine obligatorische Zeit, die Sie zwischen der Selbstantwort und der Annahme warten müssen

Eichkovarianz der Yang-Mills-Feldstärke FaμνFμνaF_{\mu\nu}^a

Vicky

Knzhou

pppqqq

Vicky

Vicky

pppqqq

Vicky

Knzhou

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Antworten (2)

QMechaniker

Vicky

Natanael

Vicky

Gibt es eine gute Idee, woher nicht-abelsche Eichsymmetrien kommen?

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