Die adjungierte Darstellung und das Eichboson von O(n)O(n)O(n)

Das Ding, das Sie zur partiellen Ableitung hinzufügen, um eine Ableitungskovariante in Bezug auf die lokale Aktion der Gruppe zu erhalten$G$ist immer eine Einsform (d. h. es hat einen Raumzeitindex) mit Werten in der adjungierten Darstellung von$G$. Der Grund ist folgender: für raumzeitunabhängige Transformationen$\psi \mapsto U \psi$,$U \in G$wir wollen haben$D \psi \mapsto U D \psi$. Dies erfordert, dass Verbindungskoeffizienten$W$sind in der adjungierten Darstellung,$W \mapsto U W U^{-1}$. Die adjungierte Darstellung der Gruppe ist nichts anderes als ihre Lie-Algebra$\mathfrak g$. Geometrisch bedeutet dies, dass Sie Ihr Feld entlang eines unendlich kleinen Liniensegments parallel transportieren möchten, das den Vektor tangiert$\xi^{\mu}$, müssen Sie darauf mit infinitesimalem Punkt abhängig handeln$G$-Transformation$-W$.