Generatoren von SU(2)SU(2)SU(2)- und SU(3)SU(3)SU(3)-Symmetriegruppen

Was ist die physikalische Bedeutung der Generatoren, die Matrizen zu sein scheinen?

Im Grunde stellen sie physikalisch unendlich kleine Operationen dar, z.

1. Drehimpuls als Generator von Rotationen,

2. linearer Impuls als Generator von Translationen,

3. elektrische Ladung als Generator der Symmetriegruppe U(1) des Elektromagnetismus,

4. die Farbladungen von Quarks sind die Generatoren der SU(3)-Farbsymmetrie in der Quantenchromodynamik,

Sie sind aufgrund ihrer Einfachheit sehr nützlich, um Kommutierungsbeziehungen zu überprüfen, die sich auf die Lie-Algebra einer bestimmten Gruppe beziehen.

Die Pauli-Matrizen, multipliziert mit$i$, sind die Grundlage für $su(2)$, dh die beteiligte Lie-Algebra, nicht die Gruppe.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

Wie Sie jedoch wahrscheinlich wissen, sind sie in einer Exponentialfunktion enthalten, wenn wir beispielsweise eine Drehung um einen Winkel von 30 Grad ausdrücken müssen.

Angenommen $SO(3; 1)$ Repräsentation, man kann versuchen, eine Repräsentation von zu konstruieren $SO(3; 1)$, die Identitätskomponente der Lorentz-Gruppe, unter Verwendung der Exponentialabbildung. Wenn $X$ ist ein Element von $SO(3; 1)$in der Standarddarstellung also

${\displaystyle \Lambda =e^{iX}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(iX)^{n}}{n!}}}$

ist eine Lorentz-Transformation nach allgemeinen Eigenschaften von Lie-Algebren.

BEARBEITEN Aus einem Kommentar von WetSavannaAnimal alias Rod Vance

Lie-Algebren von Lie-Gruppen stellt man sich also als Lie-Algebren über reellen Körpern vor$i$ wird im Feld nicht als Skalar betrachtet: Die Koeffizienten von Überlagerungen in der Lie-Algebra sind immer reell.