Bedeutet Invarianz unter unendlich kleiner Transformation Invarianz gegenüber der endlichen?

Nehmen wir an, ich habe eine endliche chirale Transformation und ich möchte die Invarianz von Diracs Lagrange zeigen, wann M = 0 darunter.

Die chirale Transformation ist definiert als:

ψ ( X ) → ψ ' ( X ) = e ich a γ 5 ψ ( X )
wo Diracs Lagrange:
L = ψ ¯ ( X ) ( ich ℏ γ μ ∂ μ − 0 C ) ψ ( X )

Wenn ich die unendlich kleine Transformation von oben betrachte:

ψ ( X ) → ψ ' ( X ) = ( 1 + ich a γ 5 ) ψ ( X )
Ich erhalte diese Lagrange-Transformationen als:
L → L ' = L + Ö ( a 2 )
Wo Ö ( a 2 ) ist Begriff mit mit Ordnung a 2 . Genügt es zu sagen, dass Lagrange unter endlicher Transformation unveränderlich ist?

Schau dir hier meine Antwort an . Das Überraschende ist, dass Sie eigentlich keine Annäherung vornehmen, wenn Sie nur die Transformation bis zur ersten Ordnung betrachten, da Sie die Invarianz unter einer Lie-Algebra rigoros zeigen, was eine Invarianz unter der entsprechenden Lie-Gruppe impliziert.
@ACuriousMind - Das ist falsch. Invarianz unter infinitesimalen Transformationen impliziert nur Invarianz unter dem verbundenen Teil der Lie-Gruppe.
@ Prahar: Ja, richtig. In dem Fall, in dem Sie von "infinitesimalen" und "endlichen" Transformationen sprechen, ist jedoch implizit, dass die "endlichen Transformationen" genau diejenigen sind, die aus den "infinitesimalen Transformationen" erzeugt werden. (Zumindest macht es keinen Sinn, eine Transformation als endliche Version einer infinitesimalen Transformation zu bezeichnen, wenn sie von ihr nicht erreicht werden kann.)
@ACuriousMind - davon rede ich nicht. Vielmehr spreche ich von "endlichen" vs. "unverbundenen" Transformationen. Beispielsweise sind Parität und Zeitumkehr Elemente der Lorentz-Gruppe, die niemals aus einer beliebigen Menge unendlich kleiner Transformationen erzeugt werden können.
Tatsächlich ist das auch im Allgemeinen falsch. Die Exponentialabbildung, die die Lie-Algebra zur Lie-Gruppe führt, muss für verbundene Lie-Gruppen nicht surjektiv sein. Ich denke, für die meisten Gruppen in der Physik ist es jedoch surjektiv. Siehe dieses Thema: math.stackexchange.com/q/551548

Antworten (1)

Dies ist häufig gut genug, aber in Ihrem speziellen Fall ist es tatsächlich viel einfacher zu zeigen, dass dies genau im endlichen Fall gilt. Ich werde das nicht für Sie tun, aber beachten Sie, dass dies eine globale Symmetrie ist, dh Alpha hat keine Abhängigkeit von x. Allenfalls müssen Sie auch die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel verwenden.

Bedeutet Invarianz unter unendlich kleiner Transformation Invarianz gegenüber der endlichen?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v