Gruppe von Symmetrien der Lagrange-Gleichungen

Hier Hamiltonsche Systeme auf Kotangensbündeln$(T^{*}M, \omega_M, H)$eines Verteilers$M$wird berücksichtigt.

Eine Symmetrie des Hamiltonschen Systems ist ein Diffeomorphismus, der 1) die Kotangensbündelstruktur, 2) die kanonische symplektische Form bewahrt$\omega_M$und 3) der Hamiltonoperator$H$.

Eine Punkt- (oder Noether-)Symmetrie der Lagrange-Funktion ist zusätzlich erforderlich, um durch ein Vektorfeld weiter erzeugt zu werden$M$dessen kanonischer Aufzug zu$T^{*}M$erzeugt eine Hamilton-Symmetrie.

Die Gruppe des Symplektomorphismus wird nur benötigt, um die symplektische Form zu bewahren, und ist nicht mit einem bestimmten Hamiltonian verbunden, daher ist sie die Gruppe mit der größten Menge und im Allgemeinen unendlich dimensional.

0) Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die Legendre-Transformation von der Lagrange- zur Hamilton-Formulierung regulär ist.

1) Die Lagrange-Aktion$S_L[q]:=\int dt~L$ist invariant unter der unendlichdimensionalen Gruppe von Diffeomorphismen der$n$-dimensionaler (verallgemeinerter) Ortsraum$M$.

2) Die Hamiltonsche Wirkung$S_H[q,p]:=\int dt(p_i \dot{q}^i -H)$ist (bis auf Randterme) unter der unendlichdimensionalen Gruppe von Symplektomorphismen von invariant$2n$-dimensionaler Phasenraum$T^*M$.

3) Die Gruppe der Diffeomorphismen des Ortsraums kann auf eine Untergruppe innerhalb der Gruppe der Symplektomorphismen verlängert werden. (Aber die Gruppe der Symplektomorphismen ist viel größer.) Das Obige ist im aktiven Bild formuliert. Wir können es auch im passiven Bild der Koordinatentransformationen umformulieren. Dann können wir eine Koordinatentransformation verlängern

$$q^i ~\longrightarrow~ q^{\prime j}~=~q^{\prime j}(q)$$

in das Kotangensbündel$T^*M$in der üblichen Weise

$$p_i ~=~ p^{\prime}_j \frac{\partial q^{\prime j} }{\partial q^i} ~.$$

Es ist nicht schwer zu überprüfen, dass die symplektische Zweierform invariant wird

$$dp^{\prime}_j \wedge dq^{\prime j}~=~ dp_i \wedge dq^i$$

(was einem Symplektomorphismus im aktiven Bild entspricht).