Was ist der Unterschied zwischen manifester Lorentz-Invarianz und kanonischer Lorentz-Invarianz?

Ich habe oft gelesen, dass sich die Lorentz-Symmetrie in der Pfadintegralformulierung manifestiert, aber nicht in der kanonischen Quantisierung - was bedeutet das wirklich?

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Manifeste Lorentz-Symmetrie bedeutet, dass man die Lorentz-Invarianz direkt aus der Formulierung der Theorie erkennen kann; typischerweise, wenn Raum und Zeit auf der gleichen Grundlage wie Komponenten eines 4-Vektors behandelt werden. In diesen Fällen werden die Lorentz-Gruppen-Generatoren auf einfache Weise dargestellt (daher die „offensichtliche“ Symmetrie), aber es ist weitaus weniger trivial, einen entsprechenden Hilbert-Raum von Zustandsvektoren zu finden, auf dem der Energie-Impuls-4-Vektor wechselwirkt handelt.

Eine Theorie kann jedoch auf indirektere Weise Lorentz-invariant sein, beispielsweise im kanonischen Formalismus, in dem ein Hilbert-Raum und ein zugehöriger Hamilton-Operator direkt angegeben werden. Dann wird die Lorentz-Invarianz festgestellt, indem die (damals weit weniger triviale) Existenz von 6 Generatoren bewiesen wird, die die Kommutierungsbeziehungen für die Lorentz-Generatoren erfüllen, sodass sich der wechselwirkende Hamilton-Operator und die Generatoren des freien Impulses gemeinsam als 4-Vektor transformieren.

Die kanonische Formulierung basiert auf einem Hamiltonschen Rahmen, der die Definition einer Zeitkoordinate erfordert. Alle Größen, die Sie berechnen, hängen also von dieser Zeitwahl ab, und daher ist es nicht offensichtlich, dass alles Lorentz-invariant ist.

Pfadintegrale respektieren die Lorentz-Invarianz von Anfang bis Ende, da sie auf einem Lagrange-Rahmen basieren.

Die Aktion erfordert auch die Definition einer Zeitkoordinate. Ich denke, Sie meinen, der Lagrange ist so gewählt, dass die Aktion Lorentz-invariant ist, was leicht zu zeigen ist.
Der Hamilton-Formalismus erfordert die Auswahl einer Zeitkoordinate und das Herausgreifen von Zeitableitungen und deren spezielle Behandlung, wenn Sie kanonische Impulse erzeugen und eine Legendre-Transformation durchführen. A ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ Term verliert seine explizite Lorentz-Invarianz und wird ± ( ϕ ˙ 2 + ∂ ich ϕ ∂ ich ϕ ) , mit der Wahl von ± je nachdem, ob Sie die Metrik auswählen + − − − oder − + + + .
Durch Angabe von " X 0 ist die Zeitkomponente", haben Sie gerade eine Zeitkoordinate gewählt. Sie tun dies immer , wenn Sie Koordinaten wählen, die nicht null sind (dh nicht lichtähnlich)! Der Trick ist, dass der Hamiltonsche Formalismus die Lorentz-Invarianz bewahrt, wenn wir die beibehalten Wahl willkürlich, dh spezifizieren Sie einfach die Topologie der Raumzeit als Raum + Zeit ...
@AlexNelson: Außer du kannst die Variation in Bezug nehmen ϕ Und ∂ μ ϕ , die offensichtlich Lorentz-invariant <b>ist</b>. Dies ist im Hamiltonschen Formalismus unmöglich, da Raum- und Zeitvariablen von Natur aus unterschiedlich behandelt werden.

In Lorentz-invarianten Theorien:

  • Die Lagrange-Dichte ist ein Lorentz-Skalar .

  • Der Hamilton-Operator ist der Generator von Zeitübersetzungen (wie Jerry Schirmer richtig sagt, man braucht zu Beginn eine bestimmte Zeitvariable) und transformiert sich daher als Nullkomponente eines Vierervektors . Und es ist weniger offensichtlich zu sagen, ob eine Größe eine Nullkomponente eines Vierervektors ist, als zu sagen, ob sie ein Skalar ist. Der beste Weg zu sagen, ob eine Feldtheorie mit einem gegebenen Hamilton-Operator Lorentz-invariant ist, besteht darin, die Kommutatoren (oder Poisson-Klammern, wenn die Theorie klassisch ist) des Hamilton-Operators mit den Boost- und Drehimpulsgeneratoren auszuarbeiten, um zu prüfen, ob sie die Lorentz-Algebra schließen .

Was ist der Unterschied zwischen manifester Lorentz-Invarianz und kanonischer Lorentz-Invarianz?
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