Wie werden Symmetrien genau definiert?

Was ist eine physikalische Theorie/Modell?

Eine gegebene physikalische Theorie wird typischerweise durch einen Satz mathematisch modelliert$\mathscr O$von mathematischen Objekten und einige Regeln, die uns sagen, wie diese Objekte einem physikalischen System entsprechen, und die es uns ermöglichen, vorherzusagen, was mit diesem System passieren wird.

Beispielsweise können viele Systeme in der klassischen Mechanik durch ein Paar beschrieben werden$(\mathcal C, L)$wo$\mathcal C$ist der Konfigurationsraum des Systems (häufig eine Mannigfaltigkeit) und$L$ist eine Funktion von Pfaden in diesem Konfigurationsraum. Dieses Modell wird dann von Regeln wie "die Elemente von$\mathcal C$entsprechen den möglichen Positionen des Systems" und "bei gegebener Anfangskonfiguration des Systems und seiner Anfangsgeschwindigkeit sind die Euler-Lagrange-Gleichungen für$L$bestimmen die Konfiguration und Geschwindigkeit des Systems für spätere Zeiten."

Was ist eine Symmetrie?

Wenn wir uns die Physik als Sammlung solcher Modelle vorstellen, können wir eine Symmetrie eines Systems als Transformation auf der Menge definieren$\mathscr O$von Objekten im Modell, so dass die transformierte Menge$\mathscr O'$von Objekten ergibt die gleiche Physik . Beachten Sie, dass ich hier absichtlich den etwas vagen Ausdruck "ergibt die gleiche Physik" verwende, da die Bedeutung dieses Ausdrucks vom Kontext abhängt. Zusamenfassend:

Eine Symmetrie ist eine Transformation eines Modells, die die von ihr vorhergesagte Physik nicht ändert.

Zum Beispiel für das Modell$(\mathcal C, L)$oben wäre eine Symmetrie eine Transformation, die die Lagrange-Funktion abbildet$L$zu einem neuen Lagrange$L'$auf demselben Konfigurationsraum, so dass die Menge der Lösungen der Euler-Lagrange-Gleichungen für$L$gleich dem Lösungssatz der Euler-Lagrange-Gleichungen für$L'$. Auch in diesem Fall ist es interessant, dies festzustellen$L$muss unter der Transformation nicht invariant sein, damit dies der Fall ist. Tatsächlich kann man zeigen, dass es für ausreichend ist$L'$zu unterscheiden$L$durch eine Gesamtzeitableitung. Dies bringt uns zu einem wichtigen Punkt;

Eine Symmetrie muss nicht unbedingt eine Invarianz eines gegebenen mathematischen Objekts sein. Es gibt Symmetrien physikalischer Systeme, die die mathematischen Objekte, die das System beschreiben, verändern, aber dennoch die Physik unverändert lassen.

Ein weiteres Beispiel, um diesen Punkt zu betonen, ist, dass man in der klassischen Elektrodynamik das Modell in Form von Potentialen beschreiben kann$\Phi, \mathbf A$statt in Bezug auf die Felder$\mathbf E$und$\mathbf B$. In diesem Fall führt jede Eichtransformation der Potentiale zu derselben Physik, da sie die Felder nicht ändert. Wenn wir also das System mit Potentialen modellieren, dann sehen wir, dass es Transformationen der Objekte im Modell gibt, die sie verändern, aber dennoch zu derselben Physik führen.

Wie stehen Gruppen zu all dem?

Oft bilden die Transformationen eines Modells, das man betrachtet, Aktionen von Gruppen. Eine Gruppenaktion ist eine Art mathematisches Objekt, das eine Transformation auf einer gegebenen Menge mit jedem Element der Gruppe so verknüpft, dass die Gruppenstruktur erhalten bleibt.

Nehmen Sie zum Beispiel das System$(\mathcal C, L)$von oben. Nehme an, dass$\mathcal C$ist der Konfigurationsraum eines Teilchens, das sich in einem zentralen Kraftpotential bewegt, und$L$ist die entsprechende Lagrangedichte. Man kann eine Aktion definieren$\phi$der Gruppe von$G= \mathrm{SO}(3)$des Rotationssatzes$R$einer der Raum der zulässigen Pfade$\mathbf x(t)$im Konfigurationsraum wie folgt:

Oft beinhalten die Objekte, die ein bestimmtes Modell beschreiben, einen Vektorraum. Beispielsweise ist der Zustandsraum eines Quantensystems eine spezielle Art von Vektorraum, der als Hilbert-Raum bezeichnet wird. In solchen Fällen ist es oft sinnvoll, eine bestimmte Art von Gruppenaktion in Betracht zu ziehen, die als Gruppenrepräsentation bezeichnet wird . Dies führt einen dazu, ein riesiges und schönes Thema zu studieren, das als Repräsentationstheorie von Gruppen bezeichnet wird.

Sind Gruppen das Ende der Geschichte?

Definitiv nicht. Es ist möglich, dass Symmetrien durch andere Arten von mathematischen Objekten erzeugt werden. Ein häufiges Beispiel sind Symmetrien, die durch Darstellungen einer bestimmten Art von mathematischem Objekt namens Lie-Algebra erzeugt werden. In diesem Fall, wie im Fall von Gruppen, kann man dann die Darstellungstheorie der Lie-Algebren studieren, die selbst auch ein riesiges, reiches Gebiet der Mathematik ist.

Auch dies ist nicht das Ende der Geschichte. Es gibt alle Arten von Modellen, die Symmetrien zulassen, die von exotischeren Arten von Objekten erzeugt werden, wie im Kontext der Supersymmetrie, wo man Objekte betrachtet, die als abgestufte Lie-Algebren bezeichnet werden.

Der größte Teil der Mathematik in diesem Bereich fällt im Allgemeinen unter den Namen Darstellungstheorie .

Symmetrie ist vorhanden, wenn etwas$x$ändert sich nicht unter einer Transformation$T$:

In einem unendlichen Zylinder gibt es radiale Symmetrie, denn wenn Sie sich mit konstanter Höhe und konstantem Radius bewegen, sehen Sie dieselbe Figur.

Wenn Sie im Fall der Lagrange-Funktion die Koordinaten ändern, ändert sich die Lagrange-Funktion nicht.$L(x') =L(x)$

In der Gruppentheorie repräsentieren Gruppenelemente eine Art Transformation. Dies wird eine gewisse damit verbundene Symmetrie aufweisen.

Zum Beispiel:

• $GL(n,\mathbb{R})$(Gruppe aller reellen Matrizen) erhält Punkte, in denen man sich befinden kann$\mathbb{R}$.

• $SL(n,\mathbb{R})$(Gruppe aller reellen Matrizen mit$\det=1$) behält Volumen bei. Erinnern Sie sich, dass wir ein Volumen als Determinante von Vektoren definieren können.

• $O(n)$(Rotationsgruppe) bewahrt Abstände (Skalarprodukt mit einer euklidischen Metrik).

• Und viele mehr...

Und beachten Sie, dass es viele Symmetrien gibt, die überhaupt nichts mit Physik zu tun haben, wie z .

Während Sie in Physik eintauchen, werden Sie viele weitere Symmetrien lernen: Diffeomorphismen, Eichfixierung, CPT in QFT, Satz von Noether ...

Symmetrien haben in der Tat einen breiten und mächtigen Einfluss auf die Physik, und ich werde in dieser Antwort nur an der Oberfläche des Themas kratzen können, aber ich werde versuchen, Ihnen einen Einblick in das Thema zu geben.

Im einfachsten Rahmen erwähnen Sie ein elektrostatisches Problem. Bei einem solchen Problem sind die geometrischen Symmetrien, die für die geladenen Teilchen gelten, der Schlüsselfaktor. Zum Beispiel, wenn das geladene Volumen bezüglich der Ebene symmetrisch ist$z=0$, dann lässt das ganze physikalische System diese Symmetrie zu. Folglich respektiert das elektrische Feld die gleiche Symmetrie. Also für einen Punkt$r$befindet sich in diesem Flugzeug,$E(r)$muss gleich sein symmetrisch in Bezug auf einen solchen Plan, der auferlegt, dass seine$z$Komponente 0 sein.

Hier sehen wir also ein Beispiel, wo gesagt wird, dass eine geometrische Eigenschaft, die von den Ursachen respektiert wird, von den Wirkungen respektiert werden muss, und gibt uns einen Hinweis auf die Eigenschaften solcher Wirkungen.

Die allgemeinere Formulierung ist zwar Susskinds Formulierung, aber man muss „Lagrange“ in seinem Mund als „die Grundgleichung, der das System gehorcht“ verstehen. Was er also wirklich meint, ist, dass, wenn eine Symmetrie die Gleichungen, die ein System antreiben, unverändert lässt, ein solches physikalisches System eine solche Symmetrie respektieren soll. Und aus dieser bloßen Tatsache können normalerweise sehr tiefe Schlüsse gezogen werden (denken Sie zum Beispiel an Zentralkräfte).

Die zweite Definition oben ist in der Tat die gleiche wie im vorherigen einfachen Fall: Alles, was ich über die Ladungen und das elektrische Feld geschrieben habe, ist in Susskinds Definition enthalten, wenn Sie "Koordinaten" durch "Raumkoordinaten" und "Lagrange" durch "Maxwellsche Gleichungen" ersetzen. , die in einem bestimmten Kontext nur eine einfachere Formulierung der Lagrange-Funktion sind.

Was Sie also in Physik-Grundkursen hören, ist die richtige Definition, aber tatsächlich etwas schlampig ausgedrückt und in einem eingeschränkten Kontext angewendet.

Die Gruppentheorie ist eng mit Systemsymmetrien verbunden, weil alle Symmetrieoperationen, die ein physikalisches System unverändert lassen, eine Gruppe bilden: Sie können selbst nachprüfen, dass die Zusammensetzung zweier solcher Symmetrien die Gleichungen des Systems unverändert lässt, dass die Identitätstransformation die Gleichungen verlässt des Systems unverändert, und dass für jede Transformation, die die Gleichungen des Systems unverändert lässt, ihre Umkehrung sie ebenfalls unverändert lässt. Sie haben es also natürlich mit Gruppenalgebra zu tun. Sie spielt beispielsweise in kondensierter Materie eine entscheidende Rolle, weil die Symmetrien eines Kristalls die Symmetrien des Potentials bestimmen, in dem sich die Elektronen bewegen, und damit die Symmetrien, die den Hamilton-Operator unverändert lassen (gleichbedeutend mit der Rede vom Lagrange-Operator oder von den Gleichungen von Bewegung in einer einfacheren Umgebung).

Ich möchte die Translationssymmetrie erwähnen, die so einfach ist, dass man sie manchmal vergisst - aber die Translationssymmetrie für alle Raumvektoren (mit anderen Worten die Homogenität des Raums) ermöglicht es Ihnen zu zeigen, dass der Impuls erhalten bleibt, dh dass sich ein Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit bewegt wenn die Masse konstant ist. Eine eingeschränktere Translationssymmetrie findet sich in Kristallen, wo die Translationssymmetrie nur für Vektoren des zugrunde liegenden Gitters gilt, was zu nicht weniger starken Schlussfolgerungen mit dem Satz von Bloch und seinen grundlegenden Anwendungen in Transporttheorien und vielen anderen Bereichen der Physik der kondensierten Materie führt.

Abschließend möchte ich betonen, dass Susskind, wenn er „Koordinaten“ sagt, nicht nur „Raumkoordinaten“ meint. Zeitsymmetrie ist eine weitere wichtige Symmetrie. Allgemeiner kann jede Koordinate im Sinne jeder verallgemeinerten Koordinate, als deren Funktion der Lagrange- oder Hamilton-Operator geschrieben werden kann, Gegenstand von Symmetrieoperationen sein.

Als Abschluss empfehle ich die Lektüre des ersten Bandes der Vorlesung Theoretische Physik von Landau und Lifschitz. Schöne Erkenntnisse auf Basis der Symmetrie finden Sie in den Kapiteln I.1 bis I.9