Wie findet man die Symmetriegruppe einer Lagrange-Funktion?

Ich entschuldige mich im Voraus für mein grundlegendes Englisch, aber ich würde gerne wissen, ob es eine Regel, ein Buch oder allgemein einen Weg gibt, um die internen Symmetrien, die Eichsymmetrien oder alle Symmetrien einer Lagrange-Dichte zu bestimmen. Ich weiß, dass es das Noether-Theorem gibt, das mir den konservierten Strom aus der gegebenen Symmetrie liefert, aber mein Problem ist a priori: Wie kann ich die größte interne Symmetrie einer gegebenen Lagrange-Funktion finden? Da ich klarer sein möchte, kann ich Ihnen ein Beispiel geben. Nehmen wir an, ich habe zwei reelle Felder$\phi_1$Und$\phi_2$so dass der Lagrange ist

$\mathcal{L}(\phi_1,\phi_2)=\frac{1}{2}\partial_\mu \phi_1\partial^\mu \phi_1+\frac{1}{2}\partial_\mu\phi_2\partial^\mu \phi_2-\frac{3}{4}M^2(\phi_1^2+\phi_2^2)-\frac{1}{2}M^2\phi_1\phi_2$

Wenn ich Sie frage, was die Symmetriegruppe dieses Lagrangians ist, was werden Sie mir sagen?

Gleichzeitig kann ich die Massenmatrix diagonalisieren und neue Felder definieren

$\phi_{M^2}=\frac{\phi_2-\phi_1}{\sqrt{2}}\qquad \phi_{2M^2}=\frac{\phi_1+\phi_2}{\sqrt{2}}$

wo, wenn ich die Berechnung richtig gemacht habe, mir eine Lagrange-Dichte als geben wird

$\mathcal{L}_2(\phi_{M^2},\phi_{2M^2})=\frac{1}{2}\partial_\mu \phi_{M^2}\partial^\mu \phi_{M^2}+\frac{1}{2}\partial_\mu\phi_{2M^2}\partial^\mu \phi_{2M^2}-\frac{1}{2}[(2M^2)\phi_{2M^2}^2+M^2\phi_{2M^2}^2)]$

das ist ein Lagrange von zwei Klein-Gordon-Feldern. Diese Definition ist eine Rotation von$45$° der Felder, bedeutet dies, dass die Lagrange-Funktion invariant unter SO(2) ist? Wenn die Masse der Felder gleich ist, kann die zweite Lagrange-Dichte als die Klein-Gordon-Lagrange-Dichte eines Dubletts angesehen werden

$\Phi=\left( \begin{array}{c} \phi_1\\ \phi_2 \end{array} \right)$?

Ist das letzte Ding dann ein Beispiel für eine Lagrange-Invariante unter SO(2)?

Letzte Sache: Wenn ich einen generischen Lagrange habe:

$\mathcal{L}_3(\phi_1,\dots,\phi_n)=\sum_{i,j=1}^n\left(\frac{1}{2}K_{ij}\partial_\mu\phi_i\partial^\mu\phi^j-M_{ij}\phi^i\phi^j\right)-V(\phi_i)$

Wo$K_{ij}$Und$M_{ij}$sind reelle symmetrische konstante Matrizen;$K_{ij}$ist eine nicht-singuläre positiv definite Matrix. Was ist die größte innere Symmetrie des kinetischen Terms? Was ist die Form von$M_{ij}$so dass der Massenterm unter dieser Gruppe invariant ist$G$?

Ich hoffe, dass Ihnen drei Beispiele helfen zu verstehen, was ich meine und worauf ich gerne geantwortet hätte. Wenn es eine Referenz, ein Lehrbuch oder irgendetwas gibt, das mir helfen kann zu verstehen, wie man mit dieser Art von Fragen umgeht, bin ich sehr dankbar dafür.