Unterschied zwischen kartesischem Produkt ××\times und Tensorprodukt ⊗⊗\otimes auf Gruppen

Question

Unterschied zwischen kartesischem Produkt ××\times und Tensorprodukt ⊗⊗\otimes auf Gruppen

Marion

Nach einem Kommentar von John Baez zu einer Frage, die ich auf MathOverflow gestellt habe, möchte ich fragen, was der Unterschied zwischen beispielsweise $SU(3)\times SU(2) \times U(1)$ Und $SU(3) \otimes SU(2) \otimes U(1)$ Ist. Der $\times$ ist das kartesische Produkt, während die $\otimes$ ist das Tensorprodukt. Ich habe das Beispiel der Standardmodell-Messgerätegruppe gegeben, aber es kann jedes Produkt von Gruppen sein. Meine Frage ist, wenn wir über globale oder Eichgruppen sprechen, meinen wir kartesische Produkte oder Tensorprodukte? Und was ist überhaupt der wirkliche Unterschied zwischen ihnen?

ACuriousMind

Physiker meinen immer das kartesische Produkt von Gruppen, wenn sie über Gruppen sprechen, aber aus irgendeinem geheimnisvollen Grund verwenden sie es manchmal

\otimes

$\otimes$ dafür. Was den Unterschied betrifft, was ist Ihnen zB an den Wikipedia-Artikeln zu kartesischen Produkten von Gruppen und Tensorprodukten unklar? (Die Verwendung des Tensorprodukts für Gruppen ist selten)

Benutzer10851

@ACuriousMind Und dann werden dieselben Physiker anrufen

\otimes

$\otimes$ ein Direktprodukt.

Frobenius

Verwandte: Gesamtspin von zwei Spin-1/2-Partikeln , SECOND_ANTWORT

\begin{matrix} (31) & C^{R} \times C^{S} \equiv C^{R + S} \neq C^{R S} \equiv C^{R} \otimes C^{S} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbb{C}^{\boldsymbol{r}}\times \mathbb{C}^{\boldsymbol{s}}\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{r+s}}\neq \mathbb{C}^{rs}\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{r}}\boldsymbol{\otimes} \mathbb{C}^{\boldsymbol{s}} \tag{31} \end{equation}$

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Unterschied zwischen kartesischem Produkt ××\times und Tensorprodukt ⊗⊗\otimes auf Gruppen

Physiker meinen immer das kartesische Produkt von Gruppen, wenn sie über Gruppen sprechen, aber aus irgendeinem geheimnisvollen Grund verwenden sie es manchmal $\otimes$ dafür. Was den Unterschied betrifft, was ist Ihnen zB an den Wikipedia-Artikeln zu kartesischen Produkten von Gruppen und Tensorprodukten unklar? (Die Verwendung des Tensorprodukts für Gruppen ist selten)
@ACuriousMind Und dann werden dieselben Physiker anrufen $\otimes$ ein Direktprodukt.
Verwandte: Gesamtspin von zwei Spin-1/2-Partikeln , SECOND_ANTWORT $\begin{matrix} (31) & C^{R} \times C^{S} \equiv C^{R + S} \neq C^{R S} \equiv C^{R} \otimes C^{S} \end{matrix}$ $\begin{equation} \mathbb{C}^{\boldsymbol{r}}\times \mathbb{C}^{\boldsymbol{s}}\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{r+s}}\neq \mathbb{C}^{rs}\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{r}}\boldsymbol{\otimes} \mathbb{C}^{\boldsymbol{s}} \tag{31} \end{equation}$

QMechaniker · Answer 1

I) Der Hauptpunkt ist, dass wir normalerweise nur Tensorprodukte betrachten $V \otimes W$ von Vektorräumen $V$ , $W$ (im Gegensatz zu allgemeinen Sätzen $V$ , $W$ ). Aber Gruppen (zB $G$ , $H$ ) sind oft keine Vektorräume. Betrachten wir nur Tensorprodukte von Vektorräumen, dann das Objekt $G \otimes H$ ist mathematisch gesehen Quatsch.

Mit weiteren Annahmen zu den Gruppen $G$ Und $H$ , ist es manchmal möglich, ein Tensorprodukt zu definieren $G \otimes H$ von Gruppen, vgl. meine Phys.SE-Antwort hier und Links darin.

II) Wenn $V$ Und $W$ zwei Vektorräume sind, dann das Tensorprodukt $V \otimes W$ ist wieder ein Vektorraum. Auch das direkte oder kartesische Produkt $V\times W$ von Vektorräumen ist isomorph zur direkten Summe $V \oplus W$ von Vektorräumen, was wiederum ein Vektorraum ist.

In der Tat, wenn $V$ ist ein Repräsentationsraum für die Gruppe $G$ , Und $W$ ist ein Repräsentationsraum für die Gruppe $H$ , dann sowohl das Tensorprodukt $V\otimes W$ und die direkte Summe $V\oplus W$ sind Darstellungsräume für die kartesische Produktgruppe $G\times H$ .

(Der direkte Summendarstellungsraum $V\oplus W\cong (V\otimes \mathbb{F}) \oplus(\mathbb{F}\otimes W)$ für die kartesische Produktgruppe $G\times H$ kann als direkte Summe von zwei angesehen werden $G\times H$ Repräsentationsräume und ist daher ein zusammengesetztes Konzept. Denken Sie daran, dass jede Gruppe eine triviale Repräsentation hat .)

Dieses Zusammenspiel zwischen dem Tensorprodukt $V\otimes W$ und das kartesische Produkt $G\times H$ kann einige Autoren dazu verleiten, die irreführende Notation zu verwenden $G\otimes H$ für das kartesische Produkt $G\times H$ . Leider passiert das oft in der Physik und in der Kategorientheorie .

III) Beachten Sie im Gegensatz zu Gruppen, dass Lie-Algebren (z $\mathfrak{g}$ , $\mathfrak{h}$ ) sind immer Vektorräume, also Tensorprodukte $\mathfrak{g}\otimes\mathfrak{h}$ von Lie-Algebren machen Sinn. Aufgrund der Potenzierung ist es jedoch typischerweise die direkte Summe $\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{h}$ von Lie-Algebren, die relevant ist. Wenn $\exp:\mathfrak{g}\to G$ Und $\exp:\mathfrak{h}\to H$ bezeichnen dann Exponentialkarten $\exp:\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{h}\to G\times H$ .

Deshalb ist es grundsätzlich falsch zu schreiben $\otimes$ wenn es um Eichgruppenprodukte in der Physik geht. Was ist aber mit den Algebren, die Elemente von Vektorräumen sind? Außerdem habe ich Ihre nette Antwort überprüft. Können Sie mir dafür eine gute Referenz geben?
daher kann die Lie-Algebra des SM geschrieben werden als $\mathfrak{su}(3)\otimes \mathfrak{su}(2) \otimes \mathfrak{u}(1)$ oder $\mathfrak{su}(3)\times \mathfrak{su}(2) \times \mathfrak{u}(1)$ ?
Weder. Die Lie-Algebra des SM ist $\mathfrak{su}(3)\oplus \mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{u}(1)$ .
Hängt das damit zusammen, dass die Algebra durch die Exponentialfunktion gegeben ist? Und in welchem Fall und aus welchem Grund bildet man ein Produkt (direkt oder tensoriell) von Elementen der Algebra? Kannst du vielleicht ein Beispiel geben?
$V\times W$ ist immer dann ein Vektorraum, wenn man Addition und Skalarmultiplikation entsprechend definiert, was eigentlich nur zufällig der Fall ist $V\oplus W$ .

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