Beim Elektromagnetismus, der eine abelsche Eichtheorie ist, haben wir die schöne Tatsache, dass alle Komponenten von
Wenn wir zur nicht-abelschen Yang-Mills-Theorie übergehen , sind die Feldstärkekomponenten
Wenn ich die gruppeninvarianten Teile einer Matrix wissen möchte, denke ich an "Eigenwerte", zumindest wenn die Gruppe definiert ist, indem ein inneres Produkt in einem Vektorraum beibehalten wird (wie Ist). Mit anderen Worten, es scheint mir, als ob die physikalische Information in den eicheninvarianten Teilen enthalten sein wird und das Finden der Eigenwerte klingt wie der richtige Weg.
Wurde dies getan? Es scheint unwahrscheinlich, dass eine einzelne Spurtransformation alle gleichzeitig diagonalisieren könnte Welche Konsequenzen hat dies zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Raumzeit (falls es wahr ist)? Schließlich würden die Eigenwerte von auch unabhängig davon sein, welche Darstellung die sind in (d. h. würde das Auffinden der Eigenwerte in der definierenden Darstellung das gleiche Ergebnis wie jede andere Darstellung ergeben), unter der Annahme, dass die Darstellungen alle die gleiche Normalisierungsbedingung haben (z )?
Das gestellte Problem ist gewaltig. Wenn wir geschlossene analytische Ausdrücke der eichinvarianten Komponenten des reduzierten Raums eines Eichsystems hätten, wäre dies ein Schritt zur Lösung des Yang-Mills-Jahrtausendproblems. (Wir müssten dann diesen Raum quantisieren, was an sich schon ein gewaltiges Problem darstellt).
Hübschmann, Rudolph und Schmidt haben die obige Übung an einem (sehr) vereinfachten Fall einer Gittereichtheorie durchgeführt, die aus einer einzelnen Plakette besteht; und wie Sie sehen können, ist auch dieser Fall äußerst schwierig. Der reduzierte Phasenraum ist in diesem Fall
Darüber hinaus ist der reduzierte Raum kein Verteiler. Es hat die Struktur eines sogenannten geschichteten symplektischen Raums, der eine disjunkte Vereinigung von Schichten der Wirkung der Eichgruppen auf den nicht reduzierten Raum ist. Die ungefähre Berechnung der Energieniveaus in diesem Problem beinhaltet die Berechnung von Tunnelwahrscheinlichkeiten zwischen den Schichten.
Zurück zur ursprünglichen Frage im Kontinuum
Einige der Invarianten von Yang-Mills-Feldern können durch charakteristische Klassen angegeben werden, siehe die Übersicht von Eguchi, Gilkey und Hansen (Abschnitt 6). Diese charakteristischen Klassen sind Eichdifferenzformen, die aus Spuren von Polynomen der Feldstärken bestehen, die zusätzlich, wenn sie über geeignete Zyklen der Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit integriert werden, topologische Invarianten ergeben. Zum Beispiel die zweite Chern-Klasse
Eine andere Art von Invarianten, die auf Holonomien basieren, betrifft die Yang-Mills-Verbindung (Vektorpotential) und nicht die Feldstärken. Diese Invarianten haben die Form von Wilson-Schleifen.
Die Sammlung der Wilson-Schleifen über alle möglichen Pfade in der Raumzeit trennt den reduzierten Phasenraum. Tatsächlich ist diese Darstellung die Grundlage der Schleifenformulierung der Yang-Mills-Theorie, siehe die folgende Rezension von Loll. Dieser Ansatz bringt jedoch große Schwierigkeiten bei der Quantisierung mit sich.