Yang-Mills-Lagrange-Invariante unter BRST

Question

PPR

In Gleichung 16.47 in Peskin & Schroeder wird das behauptet

\begin{matrix} (16.47) & - \frac{1}{2} G^{2} F^{A B C} F^{C D e} (A_{μ}^{B} C^{D} C^{e} + A_{μ}^{D} C^{e} C^{B} + A_{μ}^{e} C^{B} C^{D}) = 0 \end{matrix}

$-\frac{1}{2}g^2f^{abc}f^{cde}\left(A_{\mu}\,^{b}c^{d}c^{e}+A_{\mu}\,^{d}c^{e}c^{b}+A_{\mu}\,^{e}c^{b}c^{d}\right) ~=~ 0 \tag{16.47}$

unter Verwendung der Jacobi-Identität

\begin{matrix} (15.70) & F^{A D e} F^{B C D} + F^{B D e} F^{C A D} + F^{C D e} F^{A B D} = 0, \end{matrix}

$f^{ade}f^{bcd}+f^{bde}f^{cad}+f^{cde}f^{abd}~=~0, \tag{15.70}$

Wo $A$ ist das Eichfeld und $c$ ist das Geister-Grassmann-Feld.

Ich habe versucht, diese Behauptung zu beweisen und bin gescheitert.

Das habe ich versucht:

1) Schreiben $f^{abc}f^{cde}=-f^{dbc}f^{cea}-f^{ebc}f^{cad}$ unter Verwendung der gegebenen Jacobi-Identität.

2) Durch Umbenennen einiger Indizes und Verwenden der Anti-Kommutierung der Geisterfelder kann ich den Ausdruck umschreiben als

+ G^{2} F^{D B C} F^{C e A} (A_{μ}^{B} C^{D} C^{e} + A_{μ}^{D} C^{e} C^{B} + A_{μ}^{e} C^{B} C^{D})

$+g^2f^{dbc}f^{cea}\left(A_{\mu}\,^{b}c^{d}c^{e}+A_{\mu}\,^{d}c^{e}c^{b}+A_{\mu}\,^{e}c^{b}c^{d}\right)$

Jetzt stecke ich fest.

QMechaniker · Answer 1

Hinweise:

Die linke Seite
$- \frac{1}{2} G^{2} F^{A B C} F^{C D e} (A_{μ}^{B} C^{D} C^{e} + C j C l (B, D, e))$ $-\frac{1}{2}g^2f^{abc}f^{cde}\left(A_{\mu}^{b}c^{d}c^{e}+{\rm cycl}(b,d,e)\right)$ von Gl. (16.47) kann umbenannt werden in $- \frac{1}{2} G^{2} (F^{A B C} F^{C D e} + C j C l (B, D, e)) A_{μ}^{B} C^{D} C^{e} .$ $-\frac{1}{2}g^2\left( f^{abc}f^{cde}+{\rm cycl}(b,d,e)\right)A_{\mu}^{b}c^{d}c^{e}.$
P&S gehen davon aus, dass die Struktur konstant ist $f^{abc}$ sind total antisymmetrisch, vgl. Text unter Gl. (15.79).