Was ist die Grundlage der Eichtheorie?

PhotonicBoom hat bereits einen schönen Überblick über die Grundidee hinter Eichtheorien gegeben, lassen Sie es mich mit der Abstraktion etwas dicker auftragen:

Eine Eichtheorie ist eine Theorie, die eine lokale Eichsymmetrie hat, die durch eine Eichgruppe induziert wird $G$, die eine Lie - Gruppe sein muss . Was meinen wir nun damit?

Lassen$\Sigma$sei unsere Raumzeit (von beliebiger Dimension und Signatur). Angenommen, wir wissen, dass es irgendein Feld geben sollte$A_\mu : \Sigma \rightarrow \mathfrak{g}$an$\Sigma$($\mathfrak{g}$ist die Lie-Algebra von$G$, man kann sich dafür das (Vektor-)Potenzial der klassischen Elektrodynamik (im Folgenden ED genannt) vorstellen. Aber wann immer wir schauen, können wir dieses Feld nur lokal betrachten , also haben wir einige offene Mengen$U_\alpha$mit$\alpha$etwas Indexbedeckung$\Sigma$, und auf jedem von diesen$U_\alpha$, wir haben einige$(A_\alpha)_\mu$(zB als Lösung der Maxwell-Gleichungen). Bei Bedarf erhalten wir eine globale Definition für das Feld

$$A_\alpha = g_{\alpha\beta}A_\beta g_{\alpha\beta}^{-1} + \mathrm{i}g_{\alpha\beta}\mathrm{d}g_{\alpha\beta}^{-1} \; \text{with} \; g_{\alpha\beta} : U_\alpha \cap U_\beta \rightarrow G \text{ a smooth function}$$

für alle Satzpaare$U_\alpha,U_\beta$die einen Schnittpunkt ungleich Null haben. Dies mag sehr seltsam aussehen, aber betrachten Sie den Fall von ED, wo$G = \mathrm{U}(1)$: Dort, für$f : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}$, können wir solche Funktionen schreiben wie$g(x) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}f(x)}$. Alles pendelt, und die obige Formel reduziert sich auf

$$A_\alpha = A_\beta - \mathrm{d}f$$

Das ist genau die Eichfreiheit, die wir in der klassischen ED haben! In diesem Sinne ist die hässlich aussehende obige Gleichung also die Verallgemeinerung des bekannten Falls auf allgemeine, nicht-abelsche Symmetriegruppen$G$. Tatsächlich sind die obigen Daten (die Sätze$U_\alpha$und die Übergangsfunktionen$g_{\alpha\beta}$) definieren, was a genannt wird$G$-Hauptbündel . Nun dazu$G$-Hauptbündel, nennen wir es$P$, können Sie den Begriff einer Eichtransformation definieren$g : P \rightarrow G$, und die Umwandlung von$A$darunter wird wieder sein$A \mapsto gAg^{-1} + g\mathrm{d}g^{-1}$(Ignorieren störender Faktoren von$\mathrm{i}$). Was hat das mit unserer intuitiven Vorstellung von Messgeräten zu tun? Brunnen,$P$lokal aussieht$U_\alpha \times G$, wo ein Gruppenelement gelassen wird$h \in G$auf einen Punkt handeln$(x,k)$bedeutet nur$(x,k)h := (x,kh)$, und den Spurtrafo zu machen ist gerecht$(x,k) \mapsto (x,kg(x,k))$. Der Trafo schaltet also nur die Gruppenelemente über einem Punkt um$x \in \Sigma$herum, oder mit anderen Worten, wählt einen neuen Punkt in dem, was aussieht$\{x\} \times G$die Gruppenidentität sein. Dies ist (in einem vagen Sinne) die Verallgemeinerung der Freiheit, die „Null“ für ein gewisses Potenzial zu setzen, von der PhotonicBoom gesprochen hat.

Nun, es ist in Ordnung, diese seltsame Symmetrie zu haben, aber wie bekommen wir Dinge, die sich unter der Spurweitentransformation nicht ändern? Im Augenblick,$A$ändert sich, die Punkte in$P$schalten, soll hier nicht etwas eicheninvariant sein ?

Definieren Sie die kovariante Ableitung bzgl. der Verbindung $A$wie

$$\mathrm{d}_A f := \mathrm{d}f + A \wedge f$$

(jede kovariante Ableitung eines Feldes transformiert sich in eine Darstellung von$G$werde auch in diese Darstellung umwandeln, aber ich habe hier schon eine Textwand geschrieben, deshalb gehe ich nicht auf Materiefelder ein, das Schlagwort ist assoziierte Vektorbündel ) und definiere die Krümmung oder Feldstärke

$$F := \mathrm{d}_A A = \mathrm{d}A + A \wedge A$$

Das kann man nun durch direkte Rechnung zeigen$F$verwandelt sich als$F \mapsto gFg^{-1}$. In ED pendelt alles, und Sie haben bereits eine eichinvariante Größe (seit$gFg^{-1} = F$da), was gut ist, da sich die Feldstärke als physikalische Größe unter Eichtransformation nicht ändern sollte! Für allgemein$G$, die in allen interessanten Fällen als Matrixgruppen geschrieben werden können, nehmen Sie einfach die Spur.$\mathrm{tr}(gFg^{-1}) = \mathrm{tr}(F)$ist invariant, da die Spur unter zyklischen Permutationen invariant ist.

Und wir sind fertig! Die Aktion für diese reine Yang-Mills-Theorie ist

$$S[A] := \frac{1}{4e^2}\int_\Sigma \mathrm{Tr}(F \wedge \star F)$$

mit$e$eine Kopplungskonstante. Ich bin mir nicht ganz sicher, ob das Ihre Intuition so verfeinert, wie Sie vielleicht gehofft haben, aber so ist es (vorausgesetzt, ich habe nicht irgendwo einen großen technischen Fehler gemacht, Hinweise sind natürlich willkommen).

Du hast grundsätzlich recht. Eine Eichtheorie ist eine Feldtheorie, die die Bewegungsgleichungen unter lokalen Transformationen der Koordinaten (wichtige Unterscheidung, auf die @joshphysics hinweist) invariant lässt. Es gibt Physikern die Möglichkeit, beliebige Freiheitsgrade einzuführen, mit denen sie spielen und Probleme vereinfachen können, solange die physikalischen Größen gleich bleiben.

Zum Beispiel in der Elektrodynamik können Sie das Potential neu definieren, solange der Gradient gleich bleibt. Das elektrische Feld$E(r)$(unsere physikalische Größe) ist gegeben durch:

$$E = -\nabla\phi$$

Aber$\phi$kann durch Hinzufügen eines konstanten Terms transformiert werden$k$was geben wird:

$$\phi' \rightarrow \phi + k$$

Setzen wir dies in die vorherige Gleichung ein, erhalten wir:

$$E = -\nabla(\phi + k) = -\nabla \phi$$ was der gleichen physikalischen Größe wie oben entspricht (in diesem Fall das elektrische Feld).

Dies ist nur ein Beispiel. Ein weiteres Beispiel, das die Nützlichkeit dieser Theorie wahrscheinlich deutlicher macht, ist das Gravitationspotential$V = mgh$. Wir können den Ursprung beliebig wählen, da wir nur an der potenziellen Energiedifferenz interessiert sind , und dies vereinfacht die Berechnungen erheblich (Sie müssen sich nicht um den Ursprung kümmern, sondern nur um die Entfernung zwischen den Punkten, die Sie untersuchen).

In der Quantenfeldtheorie führen Eichtransformationen über den Satz von Noether zu Erhaltungsgrößen, der besagt, dass es für jede kontinuierliche Symmetrie eine Erhaltungsgröße gibt. Eine Gruppe unabhängiger Eichtransformationen führt zu Eichfeldern. Jeder Generator der Eichgruppe entspricht einem Eichfeld, das Eichbosonen beschreibt .

Eine weitere Sichtweise auf Eichtheorien, um die Antwort von ACuriousMind zu ergänzen : Neben dem Hinzufügen von Freiheitsgraden, die einen größeren Spielraum ermöglichen, um eine breitere Klasse von Lösungstechniken zum Tragen zu bringen, ist eine Eichtheorie eine Möglichkeit für einen Theoretiker, experimentell beobachtete Symmetrien zu kodieren in die Kandidatentheorie. Sie könnten zum Beispiel aus der experimentellen Literatur wissen, dass eine bestimmte Art von Wechselwirkung einige experimentell gemessene kontinuierliche Größen bewahrt, nennen wir sie "Blooblehood", "Twangleness" und "Thargledom", um die Allgemeingültigkeit der Idee zu betonen (ich denke, diese wurden untersucht von die Thargoiden unter ihrem Anführer, dem theoretischen Physiker Gort). Eine Möglichkeit, eine Kandidatentheorie dazu zu bringen, Blooblehood, Twangleness und Thargledom in ihren Beschreibungen der Wechselwirkung zu bewahren, besteht darin, sie zu einer Theorie zu machen, die von einer Lagrange-Funktion beschrieben wird, und diese Lagrange-Funktion dann so aufzustellen, dass sie in Bezug auf eine Lie-Gruppe unveränderlich ist$\mathfrak{G}$von Transformationen an seinen Koordinaten. Der Satz von Noether sagt Ihnen dann, dass es eine Erhaltungsgröße für jedes Basismitglied der Lie-Algebra der Lie-Gruppe gibt$\mathfrak{g}$. Diese Lie-Gruppe ist dann die Struktur-(Gauge-)Gruppe für das gebildete Faserbündel$\Sigma$als Basisraum (in der Notation von ACuriousMind und die "geeichten" Felder sind die Fasern, wie in der Antwort von ACuriousMind . Wir postulieren also einen Lagrange, der eine Symmetriegruppe der Dimension 3 für hat$\mathfrak{G}$.

Andere Antworten, in denen ich über ähnliche Dinge spreche, sind hier und hier . Die letztere Antwort halte ich für hervorragende Referenzen für Laien, und so begann ich zu glauben, dass ich solche Dinge verstehe (wenn auch immer noch ziemlich schwach).

Natürlich ist dies nicht der einzige Weg, Dinge zu konservieren, also beweisen konservierte Quantiten nicht, dass die Beschreibung eine Eichtheorie sein muss. Es ist nur ein saugender Ansatz, der eine Analogie zur ersten Eichtheorie (Maxwells Elektrodynamik) und anderen physikalischen Theorien herstellt: Sie hoffen, dass Sie mit Ihrer Lagrange-Funktion eine falsifizierbare Vorhersage machen können, damit ein Experimentator sehen kann, ob Sie auf dem sind richtiger Weg. Das Gute an einer Eichtheorie ist, dass die Erhaltung während glatter Transformationen gilt, die einen glatten Weg in der Raumzeit durchlaufen. Wir sprechen also nicht davon, diskontinuierlich von einem Punkt zu einem Punkt zu springen, der eine Entfernung ungleich Null entfernt ist, und unsere Theorie bleibt "lokal": Richard Feynman spricht von dieser Nichteindeutigkeit einer konservativen Theorie, wenn er Poynting herleitet.der Anfang von Kapitel 27 von Band II

Abgesehen davon liegt eine äußerst interessante und höchst ungewöhnliche Anwendung für Eichtheorien im Bereich der anholonomen Steuerungstheorie dynamischer Systeme. Ein hervorragender Rahmen, um darüber nachzudenken, wie eine fallende Katze umkippt und dabei den Drehimpuls beibehält, ist der folgende: Die Katze kann durch eine Mannigfaltigkeit beschrieben werden$\Sigma$(um die Notation von ACuriousMind zu verwenden ) wird als "Raum der Katzenformen" bezeichnet, und die Katze kann ihre Form verformen, um sich reibungslos zwischen Punkten der Mannigfaltigkeit zu bewegen. Diese Formen werden in einem Koordinatenrahmen beschrieben, der in Bezug auf Achsen fixiert ist, die auf der taumelnden (dh fallenden und rotierenden) Katze montiert sind. In der Sprache der Faserbündel ist der Formenraum der Grundraum$\Sigma$, die Faser ist der Raum$SO(3)$(oder$SO(2)\cong U(1)$) der Orientierung der Katze im Raum. Die Topologie des Bündels wird durch den Begriff des "Paralleltransports" oder die Verbindung definiert, die man erhält, indem man die Verschiebung der Katzenorientierung berechnet, die sich aufgrund der Erhaltung des Drehimpulses aus der stückweisen Verfolgung der Katze ergibt$C^1$Weg durch den Raum der Formen. Die Struktur- (Gauge-) Gruppe ist eine verbundene Lie-Untergruppe von$SO(3)$wirkt auf die Faser$SO(3)$selbst.

Ich sage mehr über die fallende Katze in meinem Artikel:

"Of Cats and their Most Wonderful Righting Reflex" auf meiner Website Wet Savanna Animals.

Die wegweisenden Arbeiten von Richard Montgomery sind:

Richard Montgomery, „Gauge Theory of the Falling Cat“, in MJ Enos, „Dynamics and Control of Mechanical Systems“, American Mathematical Society, S. 193–218, 1993

Ich schrieb meinen Artikel im Zuge des Lesens und Verstehens von Montgomerys Ideen. Sie finden meinen Artikel vielleicht sanfter, aber verschiedene Arten der technischen Darstellung funktionieren besser für unterschiedliche Denkweisen.