Messen Sie invariante Skalarpotentiale

Für einen General$G$Sie müssen ihre Invarianten in der jeweiligen Darstellung kennen.

Für eine einheitliche Gruppe$SU(n)$Handeln auf einem$n$-Vektor$\Phi$, die einzigen lokalen Invarianten sind Funktionen von$\Phi^*\Phi$.

Wenn Sie nur nach lokalen quadratischen Wechselwirkungen suchen, müssen Sie im Allgemeinen das Tensorprodukt der Darstellung des Felds mit sich selbst in irreduzible Darstellungen aufteilen und eine der 1-dimensionalen Darstellungen oder eine Kombination davon auswählen.

Sie wollen das Allgemeinste aufschreiben$G$-invariantes Polynom konstruiert aus$\Phi$und/oder$\Phi^*$. Alle Invarianten können identifiziert werden, indem beispielsweise das Produkt mehrerer Körper als Tensorprodukt von Darstellungen behandelt wird$\Phi_{ij}\Phi^{*kl}\Phi_{mn}\Phi^{*op}$, und Herausragen der Singulett-Komponente. Dies geschieht durch Zusammenziehen aller Indizes mit$G$- invariante Tensoren . Zum Beispiel die einzigen (algebraisch unabhängigen) invarianten Tensoren von$SU(N)$Sind$\delta^i_j$,$\epsilon_{ijk}$Und$\epsilon^{ijk}$. Dies sagt Ihnen sofort, dass eine Invariante aus einem einzigen Tensorfeld des Ranges 2 (egal ob symmetrisch oder antisymmetrisch) aufgebaut ist$\Phi$ist notwendigerweise eine Funktion von$t_n\equiv{\rm tr}(\Phi^\dagger\Phi)^n$,$\det\Phi$Und$\det\Phi^\dagger$. Damit ist bereits das Problem gelöst, wie man am allgemeinsten aufschreibt$G$-invariante Funktion. Die Anzahl der unabhängigen Parameter in dieser Funktion kann jedoch reduziert werden, indem beachtet wird, dass die obigen Invarianten alle nicht unabhängig sind. Seit$\Phi^\dagger\Phi$ist eine hermitesche positiv-semidefinite Matrix, all$t_n$hänge nur davon ab$N$reelle nicht-negative Eigenwerte und damit nur$t_n$mit$n=1,...,N$sind unabhängig. Sie können aus der erzeugenden Funktion erhalten werden

$$f(z)\equiv{\rm tr}\log(1+z\Phi^\dagger\Phi)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}nt_nz^n.$$ In Bezug auf die Eigenwerte $\lambda_k$, das liest sich $f(z)=\log\prod_{k=1}^N(1+z\lambda_k)$was wiederum ausgedrückt werden kann in Begriffen von $t_n$mit $n=1,...,N$unter Verwendung einer Variante von Vietes Formeln. Die gleiche Strategie kann für ein Feld verwendet werden $\Phi$in einer beliebigen Tensordarstellung sowie für andere Gruppen unter Berücksichtigung der entsprechenden invarianten Tensoren. Zusätzliche Beziehungen zwischen den verschiedenen Invarianten können auftreten, wenn der Tensor eine gewisse Symmetrie aufweist oder eine gewisse Einschränkung erfüllt. Zum Beispiel für einen spurlosen Tensor in der adjungierten Darstellung von $SU(N)$hat man ${\rm tr}\Phi^4=\frac12({\rm tr}\Phi^2)^2$für $N=2,3$. Wenn Sie nur an renormierbaren Wechselwirkungen interessiert sind, benötigen Sie natürlich nur einen kleinen Teil dieser Maschinerie.