Wie rechtfertigt man die Materie-Feld-Wechselwirkung für den nicht-eichinvarianten Hamilton-Operator?

Ich fand das interessant, weil die Leute zumindest pädagogisch elektronische Wechselwirkungen mit großer Reichweite aufschreiben, die die Messinvarianz vollständig brechen. Ich meine, wir haben alle gesehen, wie jemand eine „allgemeine Vier-Punkte-Interaktion“ aufgeschrieben hat:

$$\int\psi(1)\psi(2)\bar{\psi}(3)\bar{\psi}(4)V(1,2,3,4)$$ . Dies bricht die Eichinvarianz, was normalerweise schrecklich ist, aber häufig scheint dies kein offensichtliches Problem zu verursachen. Warum das? Früher hat es mich gestört.

Um speziell auf Ihre Frage zurückzukommen, lassen Sie uns zuerst im realen Raum umschreiben:

$$\int\Delta(r)U(r,r')\bar{\Delta}(r')$$ Wo $\Delta = c_{\uparrow}c_{\downarrow}$hat $U(1)$Aufladung $2$. Dies ist nicht eichinvariant, es sei denn $U$verwandelt sich richtig. Nun haben wir auf einer bestimmten Ebene mit einem eichinvarianten System begonnen, also müssen wir zu diesem Punkt gekommen sein, indem wir einige aufgeladene Freiheitsgrade "herausintegriert" haben. In diesem einfachsten Szenario haben wir Störungstheorie zweiter Ordnung und $U$ist nur ein Korrelator: $$U(r,r';A) = \langle O(r)\bar{O}(r') \rangle_{A}$$

Wo$O$hat die richtige Ladung. Oder es könnte etwas Komplizierteres sein, die Details spielen keine Rolle. Ich habe ausdrücklich darauf hingewiesen, dass dieser Korrelator vom Messgerätfeld abhängen muss$A$. Dies ist nicht verwunderlich, da$U$misst eine Ladung, die bei freigesetzt wird$r$und zerstört bei$r'$- Unabhängig von den Details muss es Ahranov-Bohm-Phasen geben. Es ist diese Abhängigkeit von$U$An$A$die die Eichinvarianz aufrechterhält, klarer unten.

Es gibt eine Art minimales Kopplungsrezept für$U$:

$$U(r_1,r_2;A) = \int \mathcal{DP}\exp(i\!\int_{r_1}^{r_2}\!\!\!\!A(r')\cdot dr')$$

bei dem die$\mathcal{DP}$ist ein gewisses Maß an Platz für Pfade aus$r_1$Zu$r_2$, und dieses Maß hängt nicht davon ab$A$. Das ist minimal im Sinne von minimal und in dem Sinne, dass man sich ausdehnt$U$als Polynom in Ableitungen erhalten Sie die übliche minimale Kopplungsvorschrift. Sie können sehen, dass dies Transformationseigenschaften für die rechte Spurweite hat. In dem speziellen Fall, in dem die Bewegung im Wesentlichen halbklassisch ist, ist dies nur eine endliche Summe über Wilson-Linien.

Okay, so sollte diese Wechselwirkung geschrieben werden, jetzt ist die eigentliche Frage, wann wir das alles ignorieren können, da wir sicherlich kein Wegintegralmaß auf atomarer Ebene schätzen wollen, wenn wir einzelne Wechselwirkungsenergien auf der kaum abschätzen können atomarer Maßstab. Nun, die Verletzung der Eichinvarianz führt zu schrecklichen Dingen, daran muss ich nicht erinnern. Aber eindeutig gibt es einen Sinn, wo wenn$U(r,r')$hat einen kleinen Wirkungsradius, und wenn wir mit einer sehr langen Wellenlänge sondieren, sollten wir nicht wissen, dass es sich nicht um eine Delta-Funktion handelt, und daher sollten wir nicht wissen, dass sie die Eichinvarianz verletzt.

Das ist nicht wirklich richtig: Wenn wir unserem Rezept der "minimalen Kopplung" folgen, erkennen wir, was wir brauchen, ist nicht der Abstand zwischen ihnen$r$Und$r'$klein ist, aber dass die Region durch den Großteil der Pfade erkundet wird$\mathcal{DP}$ist klein. Das macht Sinn, da das Thema aus Phasen von Ahranov Bohm stammt. Es hilft nichts, wenn$r$Und$r'$sind nah, wenn wir zwischen sie gelangen, indem wir auf verschlungenen Pfaden reisen, die enorm empfindlich auf die Pegelfelder reagieren. Das richtige Kriterium ist also, wenn der magnetische Fluss, der die Region mit Pfaden durchzieht, viel kleiner als ein Flussquant ist, dann können wir alle Pfade in unserem Pfadintegral "begradigen" und es einfach schreiben als:

$$U(r_1,r_2; A) \approx \tilde{U}(r_1,r_2)\exp(i\int_{r_1}^{r_2}\!\!\!A(r')dr')$$

wobei das Integral über einen beliebigen Pfad in der von uns gewählten Region genommen wird. Beachten Sie, dass diese Näherung eicheninvariant ist, da der Fehler vom Magnetfeld abhängt und es so einfach ist, wie wir bekommen. In Bezug auf die lineare Reaktion könnte man an diesem Punkt einfach ein externes Feld anschließen und entscheiden, ob es klein genug ist, um ignoriert zu werden oder nicht. Oder man könnte sich einfach mit der Wilson-Linie versöhnen und weitermachen.

Wenn Sie allgemeiner arbeiten wollten, aber trotzdem diese Wilson-Linie ignorieren wollten, können Sie dies tun, solange Sie sich auf eine ausreichend glatte Spurweite beschränken. Wenn Sie in einem Messgerät sind, wo$A$variiert nicht merklich über den Bereich von$U$Dann$\int_{r_1}^{r_2}\!\!\!A(r')\cdot dr' \approx A\cdot(r_2 - r_1)$. Und der Punkt ist näherungsweise reiner Eich: Er entspricht der Eichtransformation mit Feld$\chi = A(r)\cdot r$. Also können wir es im Wesentlichen ignorieren.

Um ein glattes Messgerät zu haben, muss man es haben

• Langsam variierende Felder
• Kleines Magnetfeld.

das sind ziemlich intuitive physische Anforderungen. Und dann dürfen wir auch keine Eichtransformationen einführen, die sich schnell ändern. Man kann sich das alles also so vorstellen, dass wir solche anscheinend nicht eichinvarianten Ausdrücke manipulieren können, weil wir die Hochfrequenzmoden des Eichfelds tatsächlich fest gemessen haben. Wahrscheinlich hätte ich mir das ohne all diese Arbeit vorstellen können, aber so ist das Leben.